🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\(y = x^2 - 2x + 1\)
\(y = x + 3\)
💡 Bu tür sistemlerde genellikle yok etme veya yerine koyma yöntemleri kullanılır.
\(y = x^2 - 2x + 1\)
\(y = x + 3\)
💡 Bu tür sistemlerde genellikle yok etme veya yerine koyma yöntemleri kullanılır.
Çözüm:
Bu denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözebiliriz:
- 1️⃣ İki denklemde de \(y\) yalnız bırakıldığı için denklemleri birbirine eşitleyebiliriz:
\(x^2 - 2x + 1 = x + 3\) - 2️⃣ Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
\(x^2 - 2x - x + 1 - 3 = 0\)
\(x^2 - 3x - 2 = 0\) - 3️⃣ Bu denklemi çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemiyle çözebiliriz. Ancak bu denklem çarpanlara ayrılmadığı için diskriminant (\(\Delta\)) yöntemini kullanalım:
\(a=1\), \(b=-3\), \(c=-2\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17\) - 4️⃣ Kökleri bulalım:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{17}}{2(1)} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{17}}{2(1)} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}\) - 5️⃣ Bulduğumuz \(x\) değerlerini ikinci denklemde (\(y = x + 3\)) yerine koyarak \(y\) değerlerini bulalım:
\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \implies y_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{3 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}\)
\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \implies y_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{3 - \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}\)
Örnek 2:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 + y^2 = 13 \] \[ x - y = 1 \] 📌 Bu sistemde bir doğrusal denklem ve bir ikinci dereceden denklem bulunmaktadır.
\[ x^2 + y^2 = 13 \] \[ x - y = 1 \] 📌 Bu sistemde bir doğrusal denklem ve bir ikinci dereceden denklem bulunmaktadır.
Çözüm:
Bu sistemi yerine koyma yöntemi ile çözmek en uygunudur:
- 1️⃣ İkinci denklemden \(x\) veya \(y\)'yi yalnız bırakalım. \(x = y + 1\) şeklinde yazabiliriz.
- 2️⃣ Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\((y + 1)^2 + y^2 = 13\) - 3️⃣ Denklemi açıp düzenleyelim:
\(y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13\)
\(2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0\)
\(2y^2 + 2y - 12 = 0\) - 4️⃣ Her tarafı 2'ye bölerek denklemi basitleştirelim:
\(y^2 + y - 6 = 0\) - 5️⃣ Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayıralım:
\((y + 3)(y - 2) = 0\) - 6️⃣ Buradan \(y\) değerlerini buluruz:
\(y_1 = -3\)
\(y_2 = 2\) - 7️⃣ Bulduğumuz \(y\) değerlerini \(x = y + 1\) denkleminde yerine koyarak \(x\) değerlerini bulalım:
\(y_1 = -3 \implies x_1 = -3 + 1 = -2\)
\(y_2 = 2 \implies x_2 = 2 + 1 = 3\)
Örnek 3:
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 4x - 5 < 0 \] 👉 İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken işaret tablosu kullanmak önemlidir.
\[ x^2 - 4x - 5 < 0 \] 👉 İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken işaret tablosu kullanmak önemlidir.
Çözüm:
Bu ikinci dereceden eşitsizliği adım adım çözelim:
- 1️⃣ Önce eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek köklerini bulalım:
\(x^2 - 4x - 5 = 0\) - 2️⃣ Denklemi çarpanlarına ayıralım:
\((x - 5)(x + 1) = 0\) - 3️⃣ Kökler \(x_1 = 5\) ve \(x_2 = -1\)'dir.
- 4️⃣ Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım. Kökleri küçükten büyüğe doğru yerleştirelim:
| x | \(-\infty\) -1 5 \(+\infty\) |
|----------|----------------------------------------|
| \(x^2-4x-5\) | + 0 - 0 + |
İşaret tablosunda, \(x^2\)'nin katsayısı pozitif olduğu için en sağdan artı (+) ile başlanır ve her kökte işaret değiştirilir.
- 5️⃣ Eşitsizliğimiz \(x^2 - 4x - 5 < 0\) olduğu için, fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz. Tablodan bu aralığın \((-1, 5)\) olduğunu görüyoruz.
Örnek 4:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 9 \ge 0 \] \[ x + 2 < 0 \] 💡 Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulup sonra kesişimlerini almalıyız.
\[ x^2 - 9 \ge 0 \] \[ x + 2 < 0 \] 💡 Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulup sonra kesişimlerini almalıyız.
Çözüm:
Sistemi oluşturan her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyelim:
1. Eşitsizlik: \(x^2 - 9 \ge 0\)
2. Eşitsizlik: \(x + 2 < 0\)
Sistem Çözümü:
1. Eşitsizlik: \(x^2 - 9 \ge 0\)
- 1️⃣ Köklerini bulalım: \(x^2 - 9 = 0 \implies (x - 3)(x + 3) = 0\). Kökler \(x_1 = -3\) ve \(x_2 = 3\)'tür.
- 2️⃣ İşaret tablosu oluşturalım:
| x | \(-\infty\) -3 3 \(+\infty\) |
|----------|----------------------------------------|
| \(x^2-9\) | + 0 - 0 + |
- 3️⃣ \(x^2 - 9 \ge 0\) olduğu aralıklar: \( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \). Bu kümeye \(Ç_1\) diyelim.
2. Eşitsizlik: \(x + 2 < 0\)
- 1️⃣ Bu doğrusal bir eşitsizliktir. \(x < -2\) olarak doğrudan çözülebilir.
- 2️⃣ Bu eşitsizliğin çözüm kümesi: \( (-\infty, -2) \). Bu kümeye \(Ç_2\) diyelim.
Sistem Çözümü:
- 1️⃣ Her iki eşitsizliğin çözüm kümesinin kesişimini almalıyız: \(Ç_1 \cap Ç_2\).
- 2️⃣ \(Ç_1 = (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)\)
- 3️⃣ \(Ç_2 = (-\infty, -2)\)
- 4️⃣ Bu iki kümenin kesişimi, her iki koşulu da sağlayan değerleri içerir.
Sayı doğrusu üzerinde görselleştirdiğimizde, her iki aralığın kesiştiği kısım \( (-\infty, -3] \) olacaktır.
Örnek 5:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini grafikle gösteriniz:
\[ y \ge x^2 \] \[ y < x + 2 \] 📌 Eşitsizlik sistemlerinin grafiksel çözümü, her bir eşitsizliğin çözüm bölgelerinin kesişimini bulmaktır.
\[ y \ge x^2 \] \[ y < x + 2 \] 📌 Eşitsizlik sistemlerinin grafiksel çözümü, her bir eşitsizliğin çözüm bölgelerinin kesişimini bulmaktır.
Çözüm:
Her bir eşitsizliğin çözüm bölgesini ayrı ayrı belirleyelim:
1. Eşitsizlik: \(y \ge x^2\)
2. Eşitsizlik: \(y < x + 2\)
Çözüm Bölgesi:
1. Eşitsizlik: \(y \ge x^2\)
- 1️⃣ Önce \(y = x^2\) parabolünü çizelim. Bu parabolün tepe noktası \((0,0)\)'dır ve kolları yukarıya doğrudur.
- 2️⃣ Eşitsizlik \(y \ge x^2\) olduğu için, parabolün üzerindeki noktalar ve parabolün üst bölgesindeki noktalar çözüm kümesine dahildir. (Bir test noktası olarak \((0,1)\) noktasını deneyebiliriz: \(1 \ge 0^2\), doğru. Yani parabolün iç/üst kısmı).
- 3️⃣ Eşitsizlik \(\ge\) olduğu için parabolün kendisi de çözüm kümesine dahildir, yani kesiksiz çizgi ile gösterilir.
2. Eşitsizlik: \(y < x + 2\)
- 1️⃣ Önce \(y = x + 2\) doğrusunu çizelim. Bu doğru \(x=0\) için \(y=2\) noktasından, \(y=0\) için \(x=-2\) noktasından geçer.
- 2️⃣ Eşitsizlik \(y < x + 2\) olduğu için, doğrunun alt bölgesindeki noktalar çözüm kümesine dahildir. (Bir test noktası olarak \((0,0)\) noktasını deneyebiliriz: \(0 < 0 + 2\), doğru. Yani doğrunun alt kısmı).
- 3️⃣ Eşitsizlik \(<\) olduğu için doğrunun kendisi çözüm kümesine dahil değildir, yani kesikli çizgi ile gösterilir.
Çözüm Bölgesi:
- 1️⃣ Her iki eşitsizliğin çözüm bölgelerinin kesişimi, sistemin çözüm kümesini oluşturur.
- 2️⃣ Bu, \(y = x^2\) parabolünün üstünde veya üzerinde ve \(y = x + 2\) doğrusunun altında kalan bölgedir.
- 3️⃣ Grafiksel olarak, parabol ve doğru arasındaki bölge taranır. Doğru kesikli, parabol kesiksiz çizilir.
- 4️⃣ Parabol ile doğrunun kesişim noktaları:
\(x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0\)
Kesişim noktalarının \(x\) koordinatları \(x = -1\) ve \(x = 2\)'dir.
\(x=-1 \implies y = (-1)^2 = 1\). Kesişim noktası: \( (-1, 1) \)
\(x=2 \implies y = (2)^2 = 4\). Kesişim noktası: \( (2, 4) \)
Çözüm bölgesi bu iki kesişim noktası arasında kalan alandır.
Örnek 6:
Bir dikdörtgenin alanı \(120 \text{ cm}^2\)'dir. Dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarından \(7 \text{ cm}\) daha uzundur. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemi bir denklem sistemi kurarak çözebiliriz:
- 1️⃣ Dikdörtgenin kısa kenarına \(x\) cm, uzun kenarına \(y\) cm diyelim.
- 2️⃣ Alan bilgisi: Dikdörtgenin alanı \(x \cdot y\) formülüyle bulunur. Verilen bilgiye göre alan \(120 \text{ cm}^2\)'dir.
Denklem 1: \(x \cdot y = 120\) - 3️⃣ Kenar uzunlukları ilişkisi: Uzun kenar, kısa kenardan \(7 \text{ cm}\) daha uzun.
Denklem 2: \(y = x + 7\) - 4️⃣ Şimdi bu iki denklemi bir sistem olarak çözelim. İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyma yöntemi ile kullanalım:
\(x \cdot (x + 7) = 120\) - 5️⃣ Denklemi açıp düzenleyelim:
\(x^2 + 7x = 120\)
\(x^2 + 7x - 120 = 0\) - 6️⃣ Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları \(-120\), toplamları \(7\) olan iki sayı \(15\) ve \(-8\)'dir.
\((x + 15)(x - 8) = 0\) - 7️⃣ Buradan \(x\) değerleri \(x_1 = -15\) ve \(x_2 = 8\)'dir.
- 8️⃣ Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \(x = 8\) cm'yi alırız.
- 9️⃣ \(x = 8\) değerini \(y = x + 7\) denkleminde yerine koyarak \(y\)'yi bulalım:
\(y = 8 + 7 = 15 \text{ cm}\)
Örnek 7:
Bir çiftçi, kare şeklindeki tarlasının etrafına tel örgü çekmek istiyor. Tarlanın bir kenar uzunluğu \(x\) metre olduğuna göre, tel örgü için harcayacağı toplam uzunluk \(L\) metredir. Çiftçi, tel örgünün uzunluğunun tarlanın alanından küçük veya eşit olmasını (\(L \le \text{Alan}\)) ve aynı zamanda tel örgü uzunluğunun \(20\) metreden fazla olmasını (\(L > 20\)) istemektedir. Bu koşulları sağlayan \(x\) değerlerinin aralığını bulunuz. 🤔
Çözüm:
Öncelikle tarlanın çevresini (tel örgü uzunluğu) ve alanını \(x\) cinsinden ifade edelim:
1. Koşul: Tel örgü uzunluğu tarlanın alanından küçük veya eşit olmalı.
\(L \le A \implies 4x \le x^2\)
2. Koşul: Tel örgü uzunluğu \(20\) metreden fazla olmalı.
\(L > 20 \implies 4x > 20\)
Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözüp kesişimlerini bulalım:
1. Eşitsizlik: \(4x \le x^2\)
2. Eşitsizlik: \(4x > 20\)
Sistem Çözümü:
- 1️⃣ Tarlanın bir kenar uzunluğu \(x\) metre olduğuna göre, bu kare bir tarladır.
- 2️⃣ Tel örgü uzunluğu (Çevre): \(L = 4x\) metre.
- 3️⃣ Tarlanın Alanı: \(A = x^2\) metrekare.
1. Koşul: Tel örgü uzunluğu tarlanın alanından küçük veya eşit olmalı.
\(L \le A \implies 4x \le x^2\)
2. Koşul: Tel örgü uzunluğu \(20\) metreden fazla olmalı.
\(L > 20 \implies 4x > 20\)
Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözüp kesişimlerini bulalım:
1. Eşitsizlik: \(4x \le x^2\)
- 1️⃣ Eşitsizliği düzenleyelim: \(0 \le x^2 - 4x \implies x^2 - 4x \ge 0\)
- 2️⃣ Köklerini bulalım: \(x(x - 4) = 0\). Kökler \(x_1 = 0\) ve \(x_2 = 4\)'tür.
- 3️⃣ İşaret tablosu oluşturalım:
| x | \(-\infty\) 0 4 \(+\infty\) |
|----------|----------------------------------------|
| \(x^2-4x\) | + 0 - 0 + |
- 4️⃣ \(x^2 - 4x \ge 0\) olduğu aralıklar: \( (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \). Ancak kenar uzunluğu negatif olamayacağı ve 0 da olamayacağı için \(x > 0\) olmalıdır. Bu durumda bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( [4, +\infty) \)'dir. (Çünkü \(x=0\) olursa alan da çevre de 0 olur, bu da mantıksızdır.) Bu kümeye \(Ç_1\) diyelim.
2. Eşitsizlik: \(4x > 20\)
- 1️⃣ Her tarafı \(4\)'e bölelim: \(x > 5\).
- 2️⃣ Bu eşitsizliğin çözüm kümesi: \( (5, +\infty) \). Bu kümeye \(Ç_2\) diyelim.
Sistem Çözümü:
- 1️⃣ Her iki eşitsizliğin çözüm kümesinin kesişimini almalıyız: \(Ç_1 \cap Ç_2\).
- 2️⃣ \(Ç_1 = [4, +\infty)\)
- 3️⃣ \(Ç_2 = (5, +\infty)\)
- 4️⃣ Bu iki kümenin kesişimi, \( (5, +\infty) \) olacaktır.
Örnek 8:
Bir mobilya atölyesi, iki farklı türde masa (A ve B) üretmektedir.
A tipi bir masa için \(2\) saat kesme ve \(3\) saat montaj gerekmektedir.
B tipi bir masa için \(3\) saat kesme ve \(2\) saat montaj gerekmektedir.
Atölyede günlük toplam \(12\) saatten fazla kesme işlemi yapılamaz ve \(10\) saatten fazla montaj işlemi yapılamaz.
Eğer atölye A tipi masadan \(x\) adet, B tipi masadan \(y\) adet üretecekse, bu üretim miktarlarını gösteren eşitsizlik sistemini yazınız ve çözüm bölgesini yorumlayınız. 🛠️
A tipi bir masa için \(2\) saat kesme ve \(3\) saat montaj gerekmektedir.
B tipi bir masa için \(3\) saat kesme ve \(2\) saat montaj gerekmektedir.
Atölyede günlük toplam \(12\) saatten fazla kesme işlemi yapılamaz ve \(10\) saatten fazla montaj işlemi yapılamaz.
Eğer atölye A tipi masadan \(x\) adet, B tipi masadan \(y\) adet üretecekse, bu üretim miktarlarını gösteren eşitsizlik sistemini yazınız ve çözüm bölgesini yorumlayınız. 🛠️
Çözüm:
Mobilya atölyesinin üretim kısıtlamalarını eşitsizlikler şeklinde ifade edelim:
Kesme Süresi Kısıtlaması:
Montaj Süresi Kısıtlaması:
Bu durumda eşitsizlik sistemi şöyledir: \[ 2x + 3y \le 12 \] \[ 3x + 2y \le 10 \] \[ x \ge 0 \] \[ y \ge 0 \]
Çözüm Bölgesinin Yorumu:
- 1️⃣ \(x\): Üretilen A tipi masa sayısı.
- 2️⃣ \(y\): Üretilen B tipi masa sayısı.
- 3️⃣ Masa sayısı negatif olamayacağı için temel kısıtlamalar:
\(x \ge 0\)
\(y \ge 0\)
Kesme Süresi Kısıtlaması:
- 1️⃣ A tipi \(x\) adet masa için \(2x\) saat kesme.
- 2️⃣ B tipi \(y\) adet masa için \(3y\) saat kesme.
- 3️⃣ Toplam kesme süresi \(12\) saatten fazla olamaz (yani \(\le 12\)).
Eşitsizlik 1: \(2x + 3y \le 12\)
Montaj Süresi Kısıtlaması:
- 1️⃣ A tipi \(x\) adet masa için \(3x\) saat montaj.
- 2️⃣ B tipi \(y\) adet masa için \(2y\) saat montaj.
- 3️⃣ Toplam montaj süresi \(10\) saatten fazla olamaz (yani \(\le 10\)).
Eşitsizlik 2: \(3x + 2y \le 10\)
Bu durumda eşitsizlik sistemi şöyledir: \[ 2x + 3y \le 12 \] \[ 3x + 2y \le 10 \] \[ x \ge 0 \] \[ y \ge 0 \]
Çözüm Bölgesinin Yorumu:
- 1️⃣ Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, tüm bu koşulları aynı anda sağlayan \((x, y)\) ikililerinin oluşturduğu bölgedir.
- 2️⃣ Grafiksel olarak, her bir eşitsizliğin sınır doğrularını çizip, uygun bölgeleri tarayarak bu çözüm bölgesini bulabiliriz.
- 3️⃣ \(x \ge 0\) ve \(y \ge 0\) koşulları, çözümün birinci bölgede (pozitif x ve y eksenlerinin olduğu bölge) olacağını gösterir.
- 4️⃣ \(2x + 3y \le 12\) eşitsizliği, \(2x + 3y = 12\) doğrusunun altında kalan bölgeyi ifade eder. (Örn: \((0,0)\) için \(0 \le 12\) doğrudur.)
- 5️⃣ \(3x + 2y \le 10\) eşitsizliği, \(3x + 2y = 10\) doğrusunun altında kalan bölgeyi ifade eder. (Örn: \((0,0)\) için \(0 \le 10\) doğrudur.)
- 6️⃣ Bu çözüm bölgesi, atölyenin günlük olarak üretebileceği A ve B tipi masa sayılarının tüm olası kombinasyonlarını gösterir. Örneğin, bu bölgedeki herhangi bir \((x, y)\) noktası, atölyenin kapasitesi dahilinde üretilebilecek masa sayılarını temsil eder.
- 7️⃣ Atölye, bu bölge içinde kalarak üretimini planlamalıdır. Genellikle, bu tür problemlerde karı maksimize eden noktayı bulmak istenir, ancak bu, 11. sınıf müfredatını aşan bir konu olan doğrusal programlamaya girer.
Örnek 9:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - y = 3 \] \[ x + y = -1 \]
\[ x^2 - y = 3 \] \[ x + y = -1 \]
Çözüm:
Bu denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözebiliriz:
- 1️⃣ İkinci denklemden \(y\)'yi yalnız bırakalım:
\(y = -1 - x\) - 2️⃣ Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\(x^2 - (-1 - x) = 3\) - 3️⃣ Denklemi düzenleyelim:
\(x^2 + 1 + x = 3\)
\(x^2 + x + 1 - 3 = 0\)
\(x^2 + x - 2 = 0\) - 4️⃣ Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
\((x + 2)(x - 1) = 0\) - 5️⃣ Buradan \(x\) değerlerini buluruz:
\(x_1 = -2\)
\(x_2 = 1\) - 6️⃣ Bulduğumuz \(x\) değerlerini \(y = -1 - x\) denkleminde yerine koyarak \(y\) değerlerini bulalım:
\(x_1 = -2 \implies y_1 = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1\)
\(x_2 = 1 \implies y_2 = -1 - 1 = -2\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-denklem-ve-esitsizlik-sistemleri/sorular