Çevre ve alan Ders Notu

Çevre ve Alan Kavramları

Bu bölümde, geometrik şekillerin çevre ve alanlarını hesaplama yöntemlerini öğreneceğiz. Çevre, bir şeklin dış sınırlarının uzunluğu toplamıdır. Alan ise, bir şeklin kapladığı iki boyutlu yüzey miktarını ifade eder.

Düzlemde Temel Şekillerin Çevre ve Alanları

1. Dikdörtgen

Dikdörtgen, karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel olan dörtgendir. Köşe açıları 90 derecedir.

• Çevre: Bir dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Eğer kısa kenar \( a \) ve uzun kenar \( b \) ise, çevre \( Ç = 2a + 2b \) veya \( Ç = 2(a+b) \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Alan \( A = a \times b \) formülü ile bulunur.

Örnek 1: Kenar uzunlukları 5 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenin çevresi ve alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 2(5 + 8) = 2(13) = 26 \) cm.
Alan \( A = 5 \times 8 = 40 \) cm².

2. Kare

Kare, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgendir. Köşe açıları 90 derecedir. Kare, özel bir dikdörtgendir.

• Çevre: Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Eğer bir kenar \( a \) ise, çevre \( Ç = 4a \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Alan \( A = a^2 \) formülü ile bulunur.

Örnek 2: Kenar uzunluğu 7 metre olan bir karenin çevresi ve alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 4 \times 7 = 28 \) m.
Alan \( A = 7^2 = 49 \) m².

3. Üçgen

Üçgen, üç kenarı ve üç köşesi olan çokgendir.

• Çevre: Bir üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamıdır. Eğer kenar uzunlukları \( a, b, c \) ise, çevre \( Ç = a + b + c \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Eğer taban \( b \) ve o tabana ait yükseklik \( h \) ise, alan \( A = \frac{b \times h}{2} \) formülü ile bulunur.

Örnek 3: Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgenin çevresini hesaplayınız. Tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan bir üçgenin alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 6 + 8 + 10 = 24 \) cm.
Alan \( A = \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) cm².

4. Paralelkenar

Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit olan dörtgendir.

• Çevre: Dikdörtgende olduğu gibi, ardışık iki kenarın toplamının iki katıdır. Eğer komşu kenarlar \( a \) ve \( b \) ise, çevre \( Ç = 2(a+b) \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Eğer taban \( b \) ve o tabana ait yükseklik \( h \) ise, alan \( A = b \times h \) formülü ile bulunur.

Örnek 4: Komşu kenarları 10 cm ve 12 cm olan bir paralelkenarın çevresini hesaplayınız. Tabanı 12 cm ve bu tabana ait yüksekliği 8 cm olan paralelkenarın alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 2(10 + 12) = 2(22) = 44 \) cm.
Alan \( A = 12 \times 8 = 96 \) cm².

5. Eşkenar Dörtgen

Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgendir. Paralelkenarın özel bir halidir.

• Çevre: Bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Eğer bir kenar \( a \) ise, çevre \( Ç = 4a \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına veya taban çarpı yükseklik formülü ile hesaplanabilir. Eğer köşegenler \( d_1 \) ve \( d_2 \) ise, alan \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \) formülü ile bulunur.

Örnek 5: Kenar uzunluğu 5 cm olan bir eşkenar dörtgenin çevresini hesaplayınız. Köşegen uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 4 \times 5 = 20 \) cm.
Alan \( A = \frac{6 \times 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) cm².

6. Yamuk

Yamuk, en az bir çift kenarı paralel olan dörtgendir.

• Çevre: Dört kenarının toplamıdır. Eğer kenarlar \( a, b, c, d \) ise, çevre \( Ç = a + b + c + d \) formülü ile hesaplanır.
• Alan: Yamuğun alanı, paralel kenarların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Eğer paralel kenarlar \( a \) ve \( b \) ve yükseklik \( h \) ise, alan \( A = \frac{(a+b) \times h}{2} \) formülü ile bulunur.

Örnek 6: Paralel kenarları 7 cm ve 10 cm, diğer kenarları 5 cm ve 6 cm olan bir yamuğun çevresini hesaplayınız. Paralel kenarları 8 cm ve 12 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanını hesaplayınız.

Çevre \( Ç = 7 + 10 + 5 + 6 = 28 \) cm.
Alan \( A = \frac{(8+12) \times 5}{2} = \frac{20 \times 5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \) cm².

Daire

Daire, sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.

• Çevre (Çemberin Uzunluğu): Dairenin çevresi, yarıçapı \( r \) olan bir çember için \( Ç = 2 \times \pi \times r \) formülü ile hesaplanır. Burada \( \pi \) (pi sayısı) yaklaşık olarak 3.14 değerindedir.
• Alan: Dairenin alanı, yarıçapının karesinin \( \pi \) ile çarpımına eşittir. Alan \( A = \pi \times r^2 \) formülü ile bulunur.

Örnek 7: Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin çevresini ve alanını hesaplayınız. \( \pi = 3.14 \) alınız.

Çevre \( Ç = 2 \times 3.14 \times 10 = 62.8 \) cm.
Alan \( A = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314 \) cm².