🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Çemberde Açı Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Çemberde Açı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberde merkez açının ölçüsü \( 70^\circ \) ise, aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Bu durumda, gördüğü yayın ölçüsü \( 70^\circ \) olur.
- Çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Dolayısıyla, çevre açının ölçüsü \( \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \) olur. ✅
Örnek 2:
Yarıçapı 5 cm olan bir çemberde, 12 cm uzunluğunda bir kirişin merkezle yaptığı açının ölçüsü kaç derecedir? (cos(θ) ≈ 0.28 olarak alınabilir.) 📌
Çözüm:
- Kirişin uç noktalarını merkezle birleştiren iki yarıçap çizelim. Bu, ikizkenar bir üçgen oluşturur.
- Yarıçaplar \( r = 5 \) cm'dir. Kiriş uzunluğu \( k = 12 \) cm'dir.
- Kirişi ortadan ikiye bölen ve merkeze dik inen bir doğru çizelim. Bu, dik üçgenler oluşturur.
- Her bir dik üçgende hipotenüs 5 cm, dik kenarlardan biri \( \frac{12}{2} = 6 \) cm olur.
- Ancak bu durum, Pisagor teoremine uymaz \( (6^2 + h^2 = 5^2 \implies 36 + h^2 = 25) \). Bu, sorunun verilerinde bir hata olduğunu gösterir.
- Soruyu, kirişin uzunluğu 8 cm olarak düzeltelim.
- Yeni durumda, dik kenarlardan biri \( \frac{8}{2} = 4 \) cm olur.
- Dik üçgende \( \cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{4}{5} = 0.8 \) olur.
- Burada \( \theta \) merkez açıdır.
- \( \frac{\theta}{2} \) açısının kosinüsü 0.8 ise, bu açı yaklaşık \( 36.87^\circ \) olur.
- Merkez açının tamamı \( \theta = 2 \times 36.87^\circ \approx 73.74^\circ \) olur.
- Eğer soruda verilen \( \cos(\theta) \approx 0.28 \) kullanılacaksa, bu doğrudan merkez açının kosinüsü olurdu.
- Bu durumda \( \theta \approx \arccos(0.28) \approx 73.74^\circ \) olurdu.
- Sorudaki "kirişin merkezle yaptığı açı" ifadesi, merkez açıyı kastetmektedir. ✅
Örnek 3:
Bir bisiklet tekerleğinin jantında, merkezden çıkan ve birbirine eşit uzaklıkta bulunan 12 adet tel bulunmaktadır. Tekerlek tam tur attığında, bu teller arasındaki açısal mesafe nasıl değişir? 🚴
Çözüm:
- Tam bir çember \( 360^\circ \)dir.
- Tekerlekte 12 adet eşit aralıklı tel olduğundan, her bir tel arasındaki açısal mesafe \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) olur.
- Tekerlek tam tur attığında, bu teller arasındaki açısal mesafe değişmez, her zaman \( 30^\circ \) kalır. 🔄
- Bu durum, tekerleğin dönmesiyle teller kendi pozisyonlarını koruduğu için geçerlidir.
Örnek 4:
Bir saatte akrep ve yelkovanın arasındaki açı, saat 3'ü gösterdiğinde kaç derecedir? ⏰
Çözüm:
- Bir saatte 12 rakam bulunur ve tam bir çember \( 360^\circ \)dir.
- Her bir saat rakamı arasındaki açı \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) olur.
- Saat 3'ü gösterdiğinde, yelkovan 12'nin üzerinde, akrep ise 3'ün üzerindedir.
- Bu iki rakam arasında 3 birimlik bir mesafe vardır (12'den 1'e, 1'den 2'ye, 2'den 3'e).
- Dolayısıyla, akrep ve yelkovan arasındaki açı \( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \) olur. 👉
Örnek 5:
Bir çemberde, AB kirişi merkezden 6 birim uzaklıktadır. Çemberin yarıçapı 10 birim olduğuna göre, AB kirişinin uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortadan ikiye böler ve bir dik üçgen oluşturur.
- Bu dik üçgende, hipotenüs çemberin yarıçapıdır (\( r = 10 \)).
- Dik kenarlardan biri, merkezden kirişe olan uzaklıktır (\( d = 6 \)).
- Diğer dik kenar ise kirişin yarısıdır (\( \frac{k}{2} \)).
- Pisagor teoremini kullanarak: \( (\frac{k}{2})^2 + d^2 = r^2 \)
- \( (\frac{k}{2})^2 + 6^2 = 10^2 \)
- \( (\frac{k}{2})^2 + 36 = 100 \)
- \( (\frac{k}{2})^2 = 100 - 36 \)
- \( (\frac{k}{2})^2 = 64 \)
- \( \frac{k}{2} = \sqrt{64} \)
- \( \frac{k}{2} = 8 \)
- Kirişin tamamının uzunluğu \( k = 2 \times 8 = 16 \) birimdir. ✅
Örnek 6:
Bir çemberde, bir yayın ölçüsü \( 110^\circ \) ise, bu yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir? 🌟
Çözüm:
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Bu nedenle, merkez açının ölçüsü \( 110^\circ \) olur. 💡
Örnek 7:
Çemberde, AB ve CD kirişleri birbirini bir P noktasında kesmektedir. AP = 4 cm, PB = 6 cm ve CP = 3 cm ise, PD kaç cm'dir? ↔️
Çözüm:
- Kirişlerin kesişimi teoremini kullanacağız.
- Teoreme göre, kesişen kirişlerin ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının çarpımları eşittir.
- Yani, \( AP \times PB = CP \times PD \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 4 \times 6 = 3 \times PD \)
- \( 24 = 3 \times PD \)
- \( PD = \frac{24}{3} \)
- \( PD = 8 \) cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir parktaki dairesel bir havuzun kenarında bulunan 3 arkadaş, havuzun tam ortasında bulunan bir fıskiyeye doğru bakmaktadır. Eğer iki arkadaş arasındaki yay uzunluğu eşitse ve havuzun çevresi 30 metre ise, fıskiye ile bir arkadaş arasındaki düz çizgi mesafesi (yarıçap) kaç metredir? (π ≈ 3 olarak alınabilir.) ⛲
Çözüm:
- Havuz dairesel olduğundan, çevresi \( Ç = 2 \times \pi \times r \) formülü ile bulunur.
- Çevre 30 metre ve \( \pi \approx 3 \) olarak verilmiş.
- \( 30 = 2 \times 3 \times r \)
- \( 30 = 6 \times r \)
- \( r = \frac{30}{6} \)
- \( r = 5 \) metre olur.
- Fıskiye havuzun merkezinde olduğundan, fıskiye ile bir arkadaş arasındaki düz çizgi mesafesi havuzun yarıçapına eşittir.
- Dolayısıyla, bu mesafe 5 metredir. 🌟
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cemberde-aci/sorular