Çemberde Açı Ders Notu

11. Sınıf Matematik: Çemberde Açı 📐

Çemberde açılar, çemberin özelliklerini ve bu özelliklerin açı ölçüleriyle ilişkisini inceleyen önemli bir konudur. Bu bölümde, merkez açı, çevre açı, teğet-kiriş açı ve iç-dış açı kavramlarını ve bunlara ait temel kuralları öğreneceğiz. Bu bilgiler, geometri problemlerini çözmede ve çemberin yapısını anlamada bize yardımcı olacaktır.

Merkez Açı ve Çevre Açı

Merkez açı, köşesi çemberin merkezinde olan ve kenarları çemberi kesen açıdır. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

Kural 1: Merkez Açının Ölçüsü

Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. \[ m(\angle AOB) = m(\text{yay } AB) \] Burada O çemberin merkezidir.

Çevre açı, köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıdır. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Kural 2: Çevre Açının Ölçüsü

Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. \[ m(\angle ACB) = \frac{1}{2} m(\text{yay } AB) \] Burada C çemberin üzerindedir.

Örnek 1: Bir çemberin merkezinden geçen bir açı (merkez açı) \( 70^\circ \) ise, bu açının gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir? Bu yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Merkez açı gördüğü yaya eşittir, bu nedenle yay \( 70^\circ \) olur. Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır, bu nedenle çevre açı \( \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \) olur.

Teğet-Kiriş Açı

Teğet-kiriş açı, köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarlarından biri çembere teğet, diğeri ise çemberi kesen (kiriş) açıdır. Teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Kural 3: Teğet-Kiriş Açının Ölçüsü

Teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. \[ m(\angle PAB) = \frac{1}{2} m(\text{yay } AB) \] Burada P noktası çembere teğet olan doğrunun üzerindedir ve A noktası teğet noktasıdır. AB ise kiriştir.

Örnek 2: Bir çemberde teğet olan bir doğru ve bir kiriş arasında oluşan açı \( 50^\circ \) ise, bu açının gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir?

Teğet-kiriş açı gördüğü yayın yarısıdır. O halde \( 50^\circ = \frac{1}{2} m(\text{yay } AB) \) olur. Yay \( AB = 2 \times 50^\circ = 100^\circ \) olur.

İç Açı ve Dış Açı

İç açı, köşesi çemberin içinde olan ve kenarları çemberi kesen iki kiriş arasında kalan açıdır. İç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.

Kural 4: İç Açının Ölçüsü

İç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir. \[ m(\angle AEB) = \frac{1}{2} (m(\text{yay } AB) + m(\text{yay } CD)) \] Burada E, çemberin içindeki kesişim noktasıdır.

Dış açı, köşesi çemberin dışında olan ve kenarları çemberi kesen veya teğet olan açıdır. Dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir.

Kural 5: Dış Açının Ölçüsü (İki Kiriş Kesşiminde)

Dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir. \[ m(\angle AEB) = \frac{1}{2} |m(\text{yay } AB) - m(\text{yay } CD)| \] Burada E, çemberin dışındaki kesişim noktasıdır.

Örnek 3: Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu bir iç açı \( 80^\circ \) olsun. Bu açının bir tarafının gördüğü yay \( 100^\circ \) ise, diğer tarafının gördüğü yay kaç derecedir?

İç açı kuralını kullanırız: \( 80^\circ = \frac{1}{2} (100^\circ + m(\text{yay } CD)) \). \( 160^\circ = 100^\circ + m(\text{yay } CD) \). \( m(\text{yay } CD) = 160^\circ - 100^\circ = 60^\circ \) olur.

Örnek 4: Bir çemberin dışındaki bir noktadan çıkan iki kesen doğrunun oluşturduğu dış açı \( 30^\circ \) olsun. Bu açının gördüğü yaylardan biri \( 120^\circ \) ise, diğeri kaç derecedir?

Dış açı kuralını kullanırız: \( 30^\circ = \frac{1}{2} |120^\circ - m(\text{yay } CD)| \). \( 60^\circ = |120^\circ - m(\text{yay } CD)| \). İki durum söz konusudur: 1) \( 120^\circ - m(\text{yay } CD) = 60^\circ \implies m(\text{yay } CD) = 60^\circ \) 2) \( 120^\circ - m(\text{yay } CD) = -60^\circ \implies m(\text{yay } CD) = 180^\circ \) Genellikle daha küçük olan yay sorulur, bu durumda cevap \( 60^\circ \) olur.

Özel Durumlar ve İlişkiler

• Çapı gören çevre açı her zaman dik açıdır (\( 90^\circ \)).
• Karşılıklı kenarları paralel olan kirişler tarafından sınırlanan yayların ölçüleri eşittir.
• Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.

Örnek 5: Bir ABC üçgeninde A köşesi çemberin üzerindedir ve BC kiriştir. Eğer BC çap ise, \( \angle BAC \) kaç derecedir?

Çapı gören çevre açı \( 90^\circ \) olduğundan, \( \angle BAC = 90^\circ \) olur.