🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Çember Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Çember Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberin yarıçapı 5 cm olarak verilmiştir. Bu çemberin çevresini ve alanını hesaplayınız. ( \( \pi \approx 3.14 \) alınız.) 💡
Çözüm:
Çemberin çevresi ve alanı için aşağıdaki formülleri kullanırız:
Adım 1: Verilenleri Belirleme
Adım 3: Alani Hesaplama
- Çevre Formülü: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
- Alan Formülü: \( A = \pi \cdot r^2 \)
Adım 1: Verilenleri Belirleme
- Yarıçap \( r = 5 \) cm
- \( \pi \approx 3.14 \)
- \( Ç = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \)
- \( Ç = 10 \cdot 3.14 \)
- \( Ç = 31.4 \) cm
Adım 3: Alani Hesaplama
- \( A = 3.14 \cdot (5)^2 \)
- \( A = 3.14 \cdot 25 \)
- \( A = 78.5 \) cm²
Örnek 2:
Merkezi koordinat sisteminin orijininde (0,0) olan ve A(3, 4) noktasından geçen çemberin denklemini bulunuz. 📌
Çözüm:
Bir çemberin standart denklem formu \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) şeklindedir. Burada \( (a, b) \) çemberin merkezini ve \( r \) yarıçapını temsil eder.
Adım 1: Merkezi Belirleme
Adım 1: Merkezi Belirleme
- Çemberin merkezi orijin olduğu için \( a = 0 \) ve \( b = 0 \) olur.
- Bu durumda çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = r^2 \) haline gelir.
- Çember A(3, 4) noktasından geçtiği için, bu noktanın orijine olan uzaklığı çemberin yarıçapını verir.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
- Burada \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) ve \( (x_2, y_2) = (3, 4) \)
- \( r = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \)
- \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
- \( r = \sqrt{9 + 16} \)
- \( r = \sqrt{25} \)
- \( r = 5 \) birim
- Merkez \( (0, 0) \) ve yarıçap \( r = 5 \) olduğundan, denklem \( x^2 + y^2 = 5^2 \) olur.
- \( x^2 + y^2 = 25 \)
Örnek 3:
Merkezi C(2, -1) olan ve \( 3x + 4y - 10 = 0 \) doğrusuna teğet olan çemberin yarıçapını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bir çemberin bir doğruya teğet olması durumunda, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı çemberin yarıçapına eşittir.
Noktanın doğruya uzaklığı formülü: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Adım 1: Verilenleri Belirleme
Noktanın doğruya uzaklığı formülü: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Adım 1: Verilenleri Belirleme
- Çemberin Merkezi \( (x_0, y_0) = (2, -1) \)
- Doğrunun Denklemi: \( 3x + 4y - 10 = 0 \). Buradan \( A = 3 \), \( B = 4 \), \( C = -10 \)
- \( r = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \)
- \( r = \frac{|6 - 4 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \)
- \( r = \frac{|-8|}{\sqrt{25}} \)
- \( r = \frac{8}{5} \)
Örnek 4:
Bir bisikletin tekerleği, düz bir zeminde yuvarlanmaktadır. Tekerleğin yarıçapı 40 cm'dir. Tekerlek tam olarak 5 tam tur döndüğünde, bisiklet zeminde kaç metre yol almış olur? ( \( \pi \approx 3.14 \) alınız.) 🚴
Çözüm:
Bir tam turda alınan yol, tekerleğin çevresine eşittir.
Adım 1: Tekerleğin Çevresini Hesaplama
Adım 2: 5 Tam Turda Alınan Toplam Yolu Hesaplama
Adım 1: Tekerleğin Çevresini Hesaplama
- Yarıçap \( r = 40 \) cm
- Çevre \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
- \( Ç = 2 \cdot 3.14 \cdot 40 \)
- \( Ç = 80 \cdot 3.14 \)
- \( Ç = 251.2 \) cm
Adım 2: 5 Tam Turda Alınan Toplam Yolu Hesaplama
- Toplam Yol = Tekerlek Çevresi \( \times \) Tur Sayısı
- Toplam Yol = \( 251.2 \) cm \( \times \) 5
- Toplam Yol = \( 1256 \) cm
- 1 metre = 100 cm
- Toplam Yol (metre) = \( \frac{1256}{100} \)
- Toplam Yol = \( 12.56 \) metre
Örnek 5:
Dairesel bir masa örtüsünün çapı 1.5 metredir. Bu masa örtüsünün alanını hesaplayarak, kaç metrekarelik bir kumaş gerektiğini bulunuz. ( \( \pi \approx 3 \) alınız, hesaplamayı kolaylaştırmak için.) 🍽️
Çözüm:
Masa örtüsünün dairesel olduğunu ve alanını hesaplamamız gerektiğini biliyoruz.
Adım 1: Yarıçapı Bulma
Adım 1: Yarıçapı Bulma
- Çap \( d = 1.5 \) metre
- Yarıçap \( r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \) metre
- Alan Formülü: \( A = \pi \cdot r^2 \)
- \( A = 3 \cdot (0.75)^2 \)
- \( A = 3 \cdot 0.5625 \)
- \( A = 1.6875 \) metrekare
Örnek 6:
Merkezi M(1, 2) olan ve \( x^2 + y^2 - 4x + 8y - 5 = 0 \) denklemine sahip çemberin yarıçapını bulunuz. 🔍
Çözüm:
Çember denklemini standart forma \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) getirmeliyiz. Bunun için tam kareye tamamlama yöntemini kullanırız.
Adım 1: Denklemi Gruplandırma
Adım 1: Denklemi Gruplandırma
- \( (x^2 - 4x) + (y^2 + 8y) = 5 \)
- \( x \) terimleri için: \( (x^2 - 4x + 4) - 4 \)
- \( y \) terimleri için: \( (y^2 + 8y + 16) - 16 \)
- Denklem şu hale gelir: \( (x-2)^2 - 4 + (y+4)^2 - 16 = 5 \)
- \( (x-2)^2 + (y+4)^2 = 5 + 4 + 16 \)
- \( (x-2)^2 + (y+4)^2 = 25 \)
- Standart denklem \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) ile karşılaştırdığımızda:
- \( a = 2 \), \( b = -4 \) (Çemberin merkezi (2, -4)'tür, soruda verilen merkezle farklılık var, denklemdeki merkez esas alınır.)
- \( r^2 = 25 \)
- \( r = \sqrt{25} = 5 \)
Örnek 7:
Yarıçapı 7 cm olan bir dairenin alanı kaç \( \pi \) cm²'dir? ⭕
Çözüm:
Dairenin alanı \( A = \pi \cdot r^2 \) formülü ile hesaplanır.
Adım 1: Verilenleri Yerine Koyma
Adım 1: Verilenleri Yerine Koyma
- Yarıçap \( r = 7 \) cm
- \( A = \pi \cdot (7)^2 \)
- \( A = \pi \cdot 49 \)
- \( A = 49\pi \) cm²
Örnek 8:
Bir parkın ortasında bulunan dairesel süs havuzunun çevresi 31.4 metredir. Bu havuzun kaç metrekarelik bir alana sahip olduğunu bulunuz. ( \( \pi \approx 3.14 \) alınız.) ⛲
Çözüm:
Öncelikle havuzun çevresini kullanarak yarıçapını bulmalıyız.
Adım 1: Yarıçapı Hesaplama
Adım 1: Yarıçapı Hesaplama
- Çevre Formülü: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
- Verilen Çevre: \( Ç = 31.4 \) metre
- \( 31.4 = 2 \cdot 3.14 \cdot r \)
- \( 31.4 = 6.28 \cdot r \)
- \( r = \frac{31.4}{6.28} \)
- \( r = 5 \) metre
- Alan Formülü: \( A = \pi \cdot r^2 \)
- \( A = 3.14 \cdot (5)^2 \)
- \( A = 3.14 \cdot 25 \)
- \( A = 78.5 \) metrekare
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cember/sorular