Çember Ders Notu

11. Sınıf Matematik: Çemberin Temel Elemanları ve Denklemi

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Sabit noktaya merkez, eşit uzaklığa ise yarıçap denir. Çember, analitik düzlemde denklemi yazılarak ifade edilebilir. Bu bölümde çemberin temel elemanlarını ve merkezil çember ile genel denklemini inceleyeceğiz.

Çemberin Temel Elemanları

• Merkez (O): Çember üzerindeki tüm noktaların eşit uzaklıkta bulunduğu sabit noktadır. Analitik düzlemde \( (a, b) \) koordinatları ile gösterilir.
• Yarıçap (r): Çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklıktır. \( r > 0 \) olmalıdır.
• Çap (d): Çemberin merkezinden geçen ve çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Çap, yarıçapın iki katıdır: \( d = 2r \).
• Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. En uzun kiriş çaptır.
• Yay: Çember üzerindeki iki nokta arasındaki eğri parçasıdır.
• Teğet: Çemberi yalnızca bir noktada kesen doğruya teğet denir. Teğet doğrusu, değme noktasında çemberin merkezine diktir.
• Kesme (Sekant): Çemberi iki noktada kesen doğruya kesme denir.

Çemberin Analitik Denklemi

Analitik düzlemde bir çemberin denklemi, çemberin merkezinin koordinatlarına ve yarıçapına bağlı olarak yazılır.

Merkezil Çember Denklemi

Merkezi orijinde ( \( (0,0) \) ) ve yarıçapı \( r \) olan çemberin denklemi şöyledir:

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

Örnek 1: Merkezi orijinde ve yarıçapı 5 birim olan çemberin denklemini bulunuz.

Çözüm: Merkez \( (0,0) \) ve \( r = 5 \) olduğundan, denklem:

\[ x^2 + y^2 = 5^2 \] \[ x^2 + y^2 = 25 \]

Genel Çember Denklemi

Merkezi \( (a, b) \) olan ve yarıçapı \( r \) olan çemberin denklemi şöyledir:

\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]

Örnek 2: Merkezi \( (2, -3) \) ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemini bulunuz.

Çözüm: Merkez \( (a, b) = (2, -3) \) ve \( r = 4 \) olduğundan, denklem:

\[ (x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2 \] \[ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16 \]

Bu denklemi açarak genel formunu da elde edebiliriz:

\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \] \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 - 16 = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \]

Bu genel formdaki denklem, \( x^2 \) ve \( y^2 \) terimlerinin katsayıları eşit (ve genellikle 1) ve xy terimi olmayan ikinci dereceden bir denklemdir.

Çember Denkleminden Merkez ve Yarıçapı Bulma

Verilen bir çember denkleminden merkezini ve yarıçapını bulmak için denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.

Örnek 3: \( x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0 \) denklemi ile verilen çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Çözüm: Denklemi gruplandırarak tam kareye tamamlayalım:

\[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11 \]

x'li terimler için \( (-6/2)^2 = (-3)^2 = 9 \) ekleyip çıkaralım. y'li terimler için \( (8/2)^2 = 4^2 = 16 \) ekleyip çıkaralım:

\[ (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 8y + 16) - 16 = 11 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 - 9 - 16 = 11 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 - 25 = 11 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 = 11 + 25 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 = 36 \]

Bu denklem \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) formundadır.

Merkez \( (a, b) = (3, -4) \) ve \( r^2 = 36 \Rightarrow r = 6 \) olur.

Çemberin Genel Denklem Formu

Bir \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) denkleminin bir çember belirtmesi için bazı koşullar vardır. Bu denklemin bir çember belirtmesi durumunda:

• Merkez \( \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) \)
• Yarıçap \( r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F} \)

Bu formülün geçerli olabilmesi için kök içindeki ifadenin pozitif olması gerekir: \( \left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F > 0 \). Eğer bu ifade sıfır olursa nokta çember, negatif olursa çember belirtmez.

Örnek 4: \( x^2 + y^2 + 10x - 4y + 20 = 0 \) denkleminin bir çember belirtip belirtmediğini, belirtiyorsa merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Çözüm: Burada \( D = 10 \), \( E = -4 \), \( F = 20 \).

Merkez:

\[ \left(-\frac{10}{2}, -\frac{-4}{2}\right) = (-5, 2) \]

Yarıçapın karesi için:

\[ \left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 20 = 5^2 + (-2)^2 - 20 = 25 + 4 - 20 = 9 \]

Kök içindeki ifade pozitif olduğundan (9 > 0), denklem bir çember belirtir.

Yarıçap \( r = \sqrt{9} = 3 \) olur.