🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Çember Teğet Ve Çemberde Açı Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Çember Teğet Ve Çemberde Açı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberin merkezinden, teğet olduğu noktaya çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Eğer yarıçap uzunluğu 5 cm ise ve teğet doğrusu üzerindeki bir nokta ile çember üzerindeki teğet noktası arasındaki uzaklık 12 cm ise, bu noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
- 1. Adım: Problemi görselleştirelim. Bir dik üçgen oluştuğunu hayal edelim. Bu üçgenin dik kenarları yarıçap ve teğet doğrusu üzerindeki uzaklıktır. Hipotenüs ise merkezden diğer noktaya olan uzaklıktır.
- 2. Adım: Verilen değerleri belirleyelim. Yarıçap (dik kenar) = 5 cm. Teğet doğrusu üzerindeki uzaklık (diğer dik kenar) = 12 cm.
- 3. Adım: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Burada \( a = 5 \) ve \( b = 12 \) dir.
- 4. Adım: Hesaplamayı yapalım: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \). Bu da \( 25 + 144 = c^2 \) olur.
- 5. Adım: Sonucu bulalım: \( 169 = c^2 \). Her iki tarafın karekökünü alırsak \( c = \sqrt{169} = 13 \) cm bulunur.
Örnek 2:
Merkez açısı \( 70^\circ \) olan bir daire diliminin alanı 35\( \pi \) cm\(^2\) olarak verilmiştir. Bu dairenin yarıçapı kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Daire diliminin alanı formülünü kullanarak yarıçapı bulabiliriz.
- 1. Adım: Daire diliminin alanı formülü şöyledir: Alan = \( \frac{merkez \ açısı}{360^\circ} \times \pi r^2 \).
- 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 35\pi = \frac{70^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \).
- 3. Adım: Sadeleştirme yapalım: \( 35\pi = \frac{7}{36} \times \pi r^2 \).
- 4. Adım: Her iki taraftaki \( \pi \) 'leri sadeleştirelim: \( 35 = \frac{7}{36} r^2 \).
- 5. Adım: \( r^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( r^2 = 35 \times \frac{36}{7} \).
- 6. Adım: Hesaplamayı tamamlayalım: \( r^2 = 5 \times 36 = 180 \).
- 7. Adım: Yarıçapı bulmak için karekök alalım: \( r = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \) cm.
Örnek 3:
Bir çemberin merkezinden 8 cm uzaklıktaki bir kirişin uzunluğu 12 cm'dir. Bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Kirişin özelliklerini ve Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı bulacağız.
- 1. Adım: Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar. Bu durumda kirişin yarısı \( \frac{12}{2} = 6 \) cm olur.
- 2. Adım: Merkezden kirişe olan uzaklık (8 cm), kirişin yarısı (6 cm) ve yarıçap (bulmak istediğimiz değer) bir dik üçgen oluşturur.
- 3. Adım: Pisagor teoremini uygulayalım: \( dik \ kenar_1^2 + dik \ kenar_2^2 = hipotenüs^2 \). Burada dik kenarlar 8 cm ve 6 cm'dir. Hipotenüs ise yarıçaptır (r).
- 4. Adım: Hesaplamayı yapalım: \( 8^2 + 6^2 = r^2 \).
- 5. Adım: \( 64 + 36 = r^2 \).
- 6. Adım: \( 100 = r^2 \).
- 7. Adım: Yarıçapı bulmak için karekök alalım: \( r = \sqrt{100} = 10 \) cm.
Örnek 4:
Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek tam tur döndüğünde kaç metre yol alır? ( \( \pi \approx 3 \) alınız) 🚴
Çözüm:
Tekerleğin tam turda aldığı yol, çevresine eşittir.
- 1. Adım: Tekerleğin çevresi formülü \( Çevre = 2 \times \pi \times r \) 'dir.
- 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( r = 35 \) cm ve \( \pi \approx 3 \).
- 3. Adım: Çevreyi hesaplayalım: \( Çevre = 2 \times 3 \times 35 \) cm.
- 4. Adım: \( Çevre = 6 \times 35 = 210 \) cm olur.
- 5. Adım: Soruda yolun metre cinsinden istenildiği için cm'yi metreye çevirelim. 1 metre = 100 cm'dir.
- 6. Adım: \( 210 \text{ cm} = \frac{210}{100} \text{ metre} = 2.1 \) metre.
Örnek 5:
Dışındaki bir P noktasından bir çembere çizilen teğetler PA ve PB'dir. Çemberin merkezi O'dur. \( m(\angle APB) = 50^\circ \) olduğuna göre, \( m(\angle AOB) \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için teğetlerin özelliklerini ve dörtgenin iç açılar toplamını kullanacağız.
- 1. Adım: Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar (OA ve OB), teğet doğrularına diktir. Bu nedenle \( m(\angle OAP) = 90^\circ \) ve \( m(\angle OBP) = 90^\circ \) olur.
- 2. Adım: APBO dörtgenini ele alalım. Bu dörtgenin iç açılarının toplamı \( 360^\circ \) 'dir.
- 3. Adım: Dörtgenin bilinen açıları: \( m(\angle APB) = 50^\circ \), \( m(\angle OAP) = 90^\circ \), \( m(\angle OBP) = 90^\circ \).
- 4. Adım: Dörtgenin iç açılar toplamından \( m(\angle AOB) \) 'yi bulalım: \( m(\angle APB) + m(\angle OAP) + m(\angle OBP) + m(\angle AOB) = 360^\circ \).
- 5. Adım: Değerleri yerine koyalım: \( 50^\circ + 90^\circ + 90^\circ + m(\angle AOB) = 360^\circ \).
- 6. Adım: \( 230^\circ + m(\angle AOB) = 360^\circ \).
- 7. Adım: \( m(\angle AOB) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ \).
Örnek 6:
Bir parkta bulunan dairesel bir havuzun çevresi 62.8 metre olarak ölçülmüştür. Havuzun çapı kaç metredir? ( \( \pi \approx 3.14 \) alınız) 💧
Çözüm:
Havuzun çevresi formülünü kullanarak çapını bulabiliriz.
- 1. Adım: Dairenin çevre formülü \( Çevre = \pi \times çap \) veya \( Çevre = 2 \times \pi \times yarıçap \) 'dır. Çapı bulmak istediğimiz için ilk formülü kullanmak daha pratiktir.
- 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( Çevre = 62.8 \) metre ve \( \pi \approx 3.14 \).
- 3. Adım: Formülü çap için düzenleyelim: \( çap = \frac{Çevre}{\pi} \).
- 4. Adım: Hesaplamayı yapalım: \( çap = \frac{62.8}{3.14} \).
- 5. Adım: Bölme işlemini gerçekleştirelim: \( çap = 20 \) metre.
Örnek 7:
Bir çemberde, merkez açısı \( \alpha \) olan bir yayın uzunluğu 10 cm'dir. Aynı çemberde, merkez açısı \( 2\alpha \) olan yayın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yay uzunluğu formülünü ve orantıyı kullanarak bu soruyu çözebiliriz.
- 1. Adım: Bir çemberde yay uzunluğu formülü şöyledir: Yay Uzunluğu = \( \frac{merkez \ açısı}{360^\circ} \times 2 \pi r \).
- 2. Adım: İlk durum için yay uzunluğu: \( 10 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \).
- 3. Adım: İkinci durum için yay uzunluğunu (L diyelim) bulmak istiyoruz: \( L = \frac{2\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \).
- 4. Adım: İkinci formülü ilk formülle karşılaştıralım. İkinci formüldeki \( \frac{2\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \) ifadesi, \( 2 \times (\frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r) \) şeklinde yazılabilir.
- 5. Adım: İlk formülden \( \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \) ifadesinin 10 cm'ye eşit olduğunu biliyoruz.
- 6. Adım: Bu değeri ikinci formülde yerine koyalım: \( L = 2 \times 10 \) cm.
- 7. Adım: Sonucu bulalım: \( L = 20 \) cm.
Örnek 8:
Bir çemberde çizilen bir teğet doğrusu ile bu teğet noktasından geçen bir kiriş arasındaki açının ölçüsü 40 derecedir. Bu açının gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için teğet-kiriş açı özelliğini kullanacağız.
- 1. Adım: Teğet-kiriş açı özelliğine göre, bir teğet doğrusu ile bu teğet noktasından geçen bir kiriş arasındaki açının ölçüsü, açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- 2. Adım: Soruda verilen teğet-kiriş açısının ölçüsü 40 derecedir.
- 3. Adım: Açının gördüğü yayın ölçüsünü (Y diyelim) bulmak için formülü kullanalım: \( \text{Açı} = \frac{Y}{2} \).
- 4. Adım: Değerleri yerine koyalım: \( 40^\circ = \frac{Y}{2} \).
- 5. Adım: Yayı yalnız bırakalım: \( Y = 40^\circ \times 2 \).
- 6. Adım: Sonucu bulalım: \( Y = 80^\circ \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cember-teget-ve-cemberde-aci/sorular