Çember Teğet Ve Çemberde Açı Ders Notu

Çemberde Teğet ve Çemberde Açı

Bu bölümde, çemberin temel elemanlarından biri olan teğeti ve çemberde oluşan açı çeşitlerini, MEB 11. Sınıf Matematik müfredatı kapsamında detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Teğetin özelliklerini ve çemberde açılar arasındaki ilişkileri anlamak, geometri problemlerini çözmede önemli bir adımdır.

Çemberde Teğet

Bir doğru, bir çemberi yalnız bir noktada kesiyorsa, bu doğruya o çemberin teğeti denir. Teğetin çemberi kestiği bu tek noktaya teğet noktası adı verilir.

Teğetin En Önemli Özelliği: Bir çemberin teğeti, değme noktasında çemberin merkezinden geçen yarıçapa diktir.

Eğer bir çemberin merkezi \( O \) ve teğet noktası \( T \) ise, teğet doğrusu \( d \) için \( OT \perp d \) olur. Bu durum, \( m(\angle OTd) = 90^\circ \) anlamına gelir.

Teğetle İlgili Özellikler

• Bir noktadan çembere çizilen teğetler, bu noktadan çemberin merkezine çizilen doğrularla eşit açılar yapar.
• Bir noktadan bir çembere çizilen teğetlerin değme noktalarına olan uzaklıkları eşittir.

Çemberde Açı Çeşitleri

Çemberde, köşelerinin konumu ve kenarlarının çemberle ilişkisine göre farklı açı türleri bulunur. Bu açıların ölçüleri, gördükleri yayların ölçüleriyle ilişkilidir.

1. Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

Eğer merkez açı \( \alpha \) ise, gördüğü yay \( \overset{\frown}{AB} \) için \( m(\angle AOB) = \alpha \) ise \( m(\overset{\frown}{AB}) = \alpha \) olur.

2. Çevre Açı

Köşesi çemberin üzerinde ve kenarları çemberi kesen açılara çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Eğer çevre açı \( \beta \) ise, gördüğü yay \( \overset{\frown}{AC} \) için \( m(\angle ABC) = \beta \) ise \( m(\overset{\frown}{AC}) = 2\beta \) olur.

3. Teğet-Kiriş Açı

Köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarlarından biri çembere teğet, diğeri kiriş olan açıya teğet-kiriş açı denir. Teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Bir \( T \) teğet noktasında bir \( d \) teğeti ve bir \( AB \) kirişi varsa, teğet-kiriş açı \( \gamma \) için \( m(\angle ATB) = \gamma \) ise gördüğü yay \( \overset{\frown}{AB} \) için \( m(\overset{\frown}{AB}) = 2\gamma \) olur.

4. İç Açı

Köşesi çemberin içinde ve kenarları çemberi kesen iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir. İç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.

İki kiriş \( AB \) ve \( CD \) çemberin içinde \( P \) noktasında kesişiyorsa, \( \angle APC \) iç açısının ölçüsü \( m(\angle APC) = \frac{m(\overset{\frown}{AC}) + m(\overset{\frown}{BD})}{2} \) olur.

5. Dış Açı

Köşesi çemberin dışında ve kenarları çemberi kesen veya teğet olan açılara dış açı denir. Dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir.

Farklı durumlar için dış açı formülleri şunlardır:

• İki kesen için: \( m(\angle P) = \frac{m(\overset{\frown}{AC}) - m(\overset{\frown}{BD})}{2} \)
• Bir kesen ve bir teğet için: \( m(\angle P) = \frac{m(\overset{\frown}{AC}) - m(\overset{\frown}{BC})}{2} \)
• İki teğet için: \( m(\angle P) = \frac{m(\overset{\frown}{AC}) - m(\overset{\frown}{BC})}{2} \)

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Merkez Açı

Bir çemberin merkezinde oluşan \( \angle AOB \) merkez açısının ölçüsü \( 70^\circ \) ise, bu açının gördüğü \( \overset{\frown}{AB} \) yayının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Dolayısıyla, \( m(\overset{\frown}{AB}) = 70^\circ \) olur.

Örnek 2: Çevre Açı

Bir çemberde, \( \angle ABC \) çevre açısının ölçüsü \( 40^\circ \) ise, bu açının gördüğü \( \overset{\frown}{AC} \) yayının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. O halde, \( m(\overset{\frown}{AC}) = 2 \times m(\angle ABC) = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \) olur.

Örnek 3: Teğet Özelliği

Merkezi \( O \) olan bir çembere, çemberin dışındaki \( P \) noktasından çizilen teğetler \( PA \) ve \( PB \) olsun. \( A \) ve \( B \) teğet noktalarıdır. Eğer \( m(\angle PAB) = 35^\circ \) ise, \( m(\angle AOB) \) kaç derecedir?

Çözüm: \( PA \) teğet olduğundan, \( OA \perp PA \) olmalıdır. Bu durumda \( \angle OAP = 90^\circ \) olur. \( \triangle OAP \) bir dik üçgendir. \( m(\angle PAB) = 35^\circ \) ise, teğet-kiriş açı özelliğinden gördüğü \( \overset{\frown}{AB} \) yayının ölçüsü \( 2 \times 35^\circ = 70^\circ \) olur. Merkez açı \( \angle AOB \) bu yayı gördüğü için \( m(\angle AOB) = 70^\circ \) olur.

Alternatif olarak, \( \triangle PAB \) ikizkenar üçgendir (\( PA = PB \)). \( m(\angle PAB) = m(\angle PBA) = 35^\circ \). \( \triangle PAB \) iç açıları toplamı: \( m(\angle APB) + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\angle APB) = 110^\circ \). \( OA = OB \) olduğundan \( \triangle OAB \) ikizkenar üçgendir. \( OA \perp PA \) olduğundan \( m(\angle OAP) = 90^\circ \). \( m(\angle OAB) = m(\angle OAP) - m(\angle PAB) = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \). \( m(\angle OBA) = 55^\circ \). \( \triangle OAB \) iç açıları toplamı: \( m(\angle AOB) + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\angle AOB) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Örnek 4: İç Açı

Bir çemberde kesişen iki kiriş \( AB \) ve \( CD \) verilsin. Kesişim noktası \( P \) olsun. \( m(\overset{\frown}{AC}) = 50^\circ \) ve \( m(\overset{\frown}{BD}) = 70^\circ \) ise, \( m(\angle APC) \) kaç derecedir?

Çözüm: İç açının ölçüsü, gördüğü yayların toplamının yarısıdır. \( m(\angle APC) = \frac{m(\overset{\frown}{AC}) + m(\overset{\frown}{BD})}{2} = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \) olur.