🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bölünebilme Kuralları Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bölünebilme Kuralları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bölünebilme Kuralları, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini anlamamıza yardımcı olan pratik yöntemlerdir.
Örneğin, 12345 sayısı 5'e tam bölünür mü? 🤔
Örneğin, 12345 sayısı 5'e tam bölünür mü? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için 5'in bölünebilme kuralını hatırlayalım:
Bu sayının son rakamı 5'tir.
Bu nedenle, 12345 sayısı 5'e tam bölünür. ✅
- Bir sayının 5'e tam bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olması gerekir.
Bu sayının son rakamı 5'tir.
Bu nedenle, 12345 sayısı 5'e tam bölünür. ✅
Örnek 2:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 gibi sayılara bölünebilme kuralları, matematiksel işlemleri hızlandırır.
45678 sayısı hem 3'e hem de 2'ye tam bölünebilir mi? 🧐
45678 sayısı hem 3'e hem de 2'ye tam bölünebilir mi? 🧐
Çözüm:
Bu soruyu cevaplamak için hem 2'nin hem de 3'ün bölünebilme kurallarını uygulayalım:
- 2'nin Bölünebilme Kuralı: Bir sayının çift olması (son rakamının 0, 2, 4, 6, 8 olması) gerekir.
- 3'ün Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
- Son rakamı 8 olduğu için, sayı 2'ye tam bölünür. 👍
- Rakamları toplamı: \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \).
- 30 sayısı 3'ün katı olduğu için (\( 30 = 3 \times 10 \)), sayı 3'e de tam bölünür. 👌
Örnek 3:
11'in Bölünebilme Kuralı biraz daha farklıdır. Bir sayının basamaklarını sağdan başlayarak sırasıyla +, -, +, - şeklinde işaretleyip toplarız. Sonuç 0 veya 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.
98765 sayısı 11'e tam bölünür mü? ❓
98765 sayısı 11'e tam bölünür mü? ❓
Çözüm:
11'in bölünebilme kuralını uygulayalım:
- Sayı: 98765
- Sağdan başlayarak işaretleyelim: \( +5 -6 +7 -8 +9 \)
- İşlemi yapalım: \( 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 7 \)
Örnek 4:
Bir sayının 9'a tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. Bu kuralı kullanarak, 7a4b dört basamaklı sayısının 9'a tam bölünebildiğini biliyoruz. a ve b rakamları için olası değerler nelerdir? 💡
Çözüm:
Sayı 7a4b ve 9'a tam bölünüyor.
\( a + b = 7 \) olur. Bu durumda (a,b) ikilileri şunlar olabilir: (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0).
Durum 2: \( 11 + a + b = 27 \) ise,
\( a + b = 16 \) olur. Bu durumda (a,b) ikilileri şunlar olabilir: (7,9), (8,8), (9,7).
Bu iki durumu birleştirerek olası (a,b) çiftlerini bulmuş olduk. ✅
- 9'un bölünebilme kuralına göre, rakamları toplamı 9'un katı olmalı: \( 7 + a + 4 + b = 9k \) (burada k bir tam sayıdır).
- Bu da \( 11 + a + b = 9k \) anlamına gelir.
- a ve b birer rakam olduğu için \( 0 \le a \le 9 \) ve \( 0 \le b \le 9 \) olmalıdır.
- Dolayısıyla \( 0 \le a+b \le 18 \) olur.
- Bu durumda \( 11 + a + b \) değeri 11 ile 29 arasında olmalıdır.
- Bu aralıkta 9'un katı olan sayılar 18 ve 27'dir.
\( a + b = 7 \) olur. Bu durumda (a,b) ikilileri şunlar olabilir: (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0).
Durum 2: \( 11 + a + b = 27 \) ise,
\( a + b = 16 \) olur. Bu durumda (a,b) ikilileri şunlar olabilir: (7,9), (8,8), (9,7).
Bu iki durumu birleştirerek olası (a,b) çiftlerini bulmuş olduk. ✅
Örnek 5:
Bir mağaza, sattığı ürünlerin fiyatlarını belirlerken bölünebilme kurallarını kullanıyor. Bir ürünün fiyatı XYZ üç basamaklı bir sayıdır. Bu ürünün fiyatı hem 3'e hem de 4'e tam bölünebilmektedir. X rakamı 5 olarak verilmiştir. Y ve Z rakamları için olası değerler nelerdir? 🛒
Çözüm:
Ürün fiyatı 5YZ şeklinde üç basamaklı bir sayıdır ve hem 3'e hem de 4'e tam bölünüyor.
- 4'ün Bölünebilme Kuralı: Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'e tam bölünmesi gerekir.
- Bu durumda YZ sayısı 4'e tam bölünmeli. Yani 10Y + Z sayısı 4'ün katı olmalı.
- 3'ün Bölünebilme Kuralı: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
- Yani \( 5 + Y + Z \) sayısı 3'ün katı olmalı.
- YZ'nin 4'e bölünebilmesi için YZ şu değerleri alabilir: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.
- Şimdi bu ikililer için \( 5 + Y + Z \) toplamının 3'ün katı olup olmadığını kontrol edelim:
- YZ = 00 ise, \( 5+0+0=5 \) (3'ün katı değil)
- YZ = 04 ise, \( 5+0+4=9 \) (3'ün katı) -> Y=0, Z=4 olabilir.
- YZ = 08 ise, \( 5+0+8=13 \) (3'ün katı değil)
- YZ = 12 ise, \( 5+1+2=8 \) (3'ün katı değil)
- YZ = 16 ise, \( 5+1+6=12 \) (3'ün katı) -> Y=1, Z=6 olabilir.
- YZ = 20 ise, \( 5+2+0=7 \) (3'ün katı değil)
- YZ = 24 ise, \( 5+2+4=11 \) (3'ün katı değil)
- YZ = 28 ise, \( 5+2+8=15 \) (3'ün katı) -> Y=2, Z=8 olabilir.
- ... ve bu şekilde devam ederiz.
Örnek 6:
Bir inşaat firması, yapacağı bir binanın kat sayısını belirlerken bölünebilme kurallarını göz önünde bulunduruyor. X ve Y rakamlarından oluşan XY katlı bir bina yapılacak. Bu kat sayısının hem 8'e hem de 9'a tam bölünebilmesi gerekiyor. X rakamı 7 olarak verilmiş. Y rakamı ne olmalıdır? 🏗️
Çözüm:
Kat sayısı 7Y şeklinde iki basamaklı bir sayıdır ve hem 8'e hem de 9'a tam bölünüyor.
- 8'in Bölünebilme Kuralı: Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8'e tam bölünmesi gerekir. İki basamaklı sayılarda, sayının kendisi 8'e tam bölünmelidir.
- Yani 7Y sayısı 8'e tam bölünmeli.
- 9'un Bölünebilme Kuralı: Sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalı.
- Yani \( 7 + Y \) sayısı 9'un katı olmalı.
- Öncelikle 70'li sayılardan 8'e tam bölünenleri bulalım: 72 (\( 8 \times 9 \)) ve 80 (\( 8 \times 10 \)).
- Bu durumda Y rakamı ya 2 ya da 0 olabilir.
- Şimdi 9'un bölünebilme kuralını kontrol edelim:
- Eğer Y=2 ise, rakamları toplamı \( 7 + 2 = 9 \). 9 sayısı 9'un katıdır. ✅
- Eğer Y=0 ise, rakamları toplamı \( 7 + 0 = 7 \). 7 sayısı 9'un katı değildir. ❌
Örnek 7:
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine bölünebilme kurallarını pekiştirmek için bir oyun hazırlıyor. Oyunda verilen sayının 6'ya tam bölünüp bölünmediği soruluyor. 246 sayısı 6'ya tam bölünür mü? 🎲
Çözüm:
Bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmesi gerekir.
- 2'nin Bölünebilme Kuralı: Sayının son rakamı çift olmalı.
- 3'ün Bölünebilme Kuralı: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
- Son rakamı 6'dır, bu yüzden 2'ye tam bölünür. 👍
- Rakamları toplamı: \( 2 + 4 + 6 = 12 \).
- 12 sayısı 3'ün katı olduğu için (\( 12 = 3 \times 4 \)), 3'e de tam bölünür. 👌
Örnek 8:
Bir banka, güvenlik nedeniyle şifrelerin belirli kurallara uymasını istiyor. Bir kullanıcının belirlediği 5 basamaklı şifresi 1a2b3 şeklindedir. Bu şifrenin hem 4'e hem de 5'e tam bölünebilmesi gerekmektedir. a ve b rakamları için olası değerler nelerdir? 🔒
Çözüm:
Şifre 1a2b3 5 basamaklıdır ve hem 4'e hem de 5'e tam bölünüyor.
Bu soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Eğer şifre 1a2b0 veya 1a2b5 şeklinde olsaydı, 5'e bölünebilirdi. Ancak verilen şifre yapısı ile hem 4'e hem de 5'e tam bölünmesi mümkün değildir. ❌
- 5'in Bölünebilme Kuralı: Sayının son rakamı 0 veya 5 olmalı.
- Şifremizin son rakamı 3'tür.
Bu soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Eğer şifre 1a2b0 veya 1a2b5 şeklinde olsaydı, 5'e bölünebilirdi. Ancak verilen şifre yapısı ile hem 4'e hem de 5'e tam bölünmesi mümkün değildir. ❌
Örnek 9:
Bir otobüs firması, bilet numaralarını rastgele seçmiyor. Bir biletin numarası ABC üç basamaklı bir sayıdır. Bu bilet numarasının 3'e tam bölünebildiği ve 10'a tam bölünemediği biliniyor. A rakamı 4 olarak verilmiş. B ve C rakamları için olası değerler nelerdir? 🚌
Çözüm:
Bilet numarası 4BC şeklindedir.
- 3'ün Bölünebilme Kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı. Yani \( 4 + B + C \) sayısı 3'ün katı olmalı.
- 10'un Bölünebilme Kuralı: Sayının son rakamı 0 olmalı.
- Soruda bilet numarasının 10'a tam bölünemediği belirtilmiş. Bu da C rakamının 0 olamayacağı anlamına gelir.
- C rakamı 0 olamaz.
- \( 4 + B + C \) toplamının 3'ün katı olması gerekiyor. B ve C rakam oldukları için 0'dan 9'a kadar değer alabilirler.
- Olası C değerleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Her C değeri için B'nin alabileceği değerleri inceleyelim:
- Eğer C=1 ise, \( 4 + B + 1 = 5 + B \). 3'ün katı olması için B=1, 4, 7 olabilir. (4,1), (7,1), (10,1-geçersiz).
- Eğer C=2 ise, \( 4 + B + 2 = 6 + B \). 3'ün katı olması için B=0, 3, 6, 9 olabilir. (0,2), (3,2), (6,2), (9,2).
- Eğer C=3 ise, \( 4 + B + 3 = 7 + B \). 3'ün katı olması için B=2, 5, 8 olabilir. (2,3), (5,3), (8,3).
- Eğer C=4 ise, \( 4 + B + 4 = 8 + B \). 3'ün katı olması için B=1, 4, 7 olabilir. (1,4), (4,4), (7,4).
- Eğer C=5 ise, \( 4 + B + 5 = 9 + B \). 3'ün katı olması için B=0, 3, 6, 9 olabilir. (0,5), (3,5), (6,5), (9,5).
- Eğer C=6 ise, \( 4 + B + 6 = 10 + B \). 3'ün katı olması için B=2, 5, 8 olabilir. (2,6), (5,6), (8,6).
- Eğer C=7 ise, \( 4 + B + 7 = 11 + B \). 3'ün katı olması için B=1, 4, 7 olabilir. (1,7), (4,7), (7,7).
- Eğer C=8 ise, \( 4 + B + 8 = 12 + B \). 3'ün katı olması için B=0, 3, 6, 9 olabilir. (0,8), (3,8), (6,8), (9,8).
- Eğer C=9 ise, \( 4 + B + 9 = 13 + B \). 3'ün katı olması için B=2, 5, 8 olabilir. (2,9), (5,9), (8,9).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bolunebilme-kurallari/sorular