Bölünebilme Kuralları Ders Notu

11. Sınıf Matematik: Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini anlamamızı sağlayan pratik yöntemlerdir. Bu kurallar, büyük sayıların bölme işlemlerini kolaylaştırır ve sayılar teorisinin temelini oluşturur. 11. sınıf müfredatında bu kuralları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.

2 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının birler basamağı çift rakamlardan (0, 2, 4, 6, 8) biri ise, o sayı 2 ile kalansız bölünür. Tek rakamla (1, 3, 5, 7, 9) biten sayılar ise 2 ile tam bölünmez, 1 kalanını verir.

• Örnek: 348 sayısı 2 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 8'dir.
• Örnek: 751 sayısı 2 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 1'dir (751 = 2 * 375 + 1).

3 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının basamakları toplamı 3'ün katı ise, o sayı 3 ile kalansız bölünür. Basamakları toplamı 3'ün katı olmayan sayılar ise 3 ile tam bölünmez.

• Örnek: 528 sayısının basamakları toplamı \( 5 + 2 + 8 = 15 \) olur. 15, 3'ün katı olduğu için 528 sayısı 3 ile tam bölünür.
• Örnek: 1234 sayısının basamakları toplamı \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \) olur. 10, 3'ün katı olmadığı için 1234 sayısı 3 ile tam bölünmez (1234 = 3 * 411 + 1).

4 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise, o sayı 4 ile kalansız bölünür. Sayının tamamının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının 00, 04, 08, ..., 96 gibi 4'ün katı olması gerekir.

• Örnek: 1736 sayısının son iki basamağı 36'dır. 36, 4'ün katı olduğu için (36 = 4 * 9) 1736 sayısı 4 ile tam bölünür.
• Örnek: 5210 sayısının son iki basamağı 10'dur. 10, 4'ün katı olmadığı için 5210 sayısı 4 ile tam bölünmez (5210 = 4 * 1302 + 2).

5 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise, o sayı 5 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 945 sayısı 5 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 5'tir.
• Örnek: 230 sayısı 5 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 0'dır.
• Örnek: 672 sayısı 5 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 2'dir (672 = 5 * 134 + 2).

6 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının hem 2 ile hem de 3 ile kalansız bölünmesi gerekmektedir. Yani sayı çift olmalı ve basamakları toplamı 3'ün katı olmalıdır.

• Örnek: 738 sayısı hem 2 ile (birler basamağı 8) hem de 3 ile (basamakları toplamı \( 7 + 3 + 8 = 18 \), 18 = 3 * 6) tam bölündüğü için 6 ile de tam bölünür.
• Örnek: 452 sayısı 2 ile tam bölünür ancak basamakları toplamı \( 4 + 5 + 2 = 11 \) olup 3 ile tam bölünmez. Bu nedenle 452 sayısı 6 ile tam bölünmez.

8 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise, o sayı 8 ile kalansız bölünür. Eğer sayının basamak sayısı üçten az ise, sayının kendisi 8'in katı olmalıdır.

• Örnek: 3456 sayısının son üç basamağı 456'dır. 456'yı 8'e böldüğümüzde 57 buluruz (\( 456 = 8 \times 57 \)). Bu nedenle 3456 sayısı 8 ile tam bölünür.
• Örnek: 1208 sayısının son üç basamağı 208'dir. 208'i 8'e böldüğümüzde 26 buluruz (\( 208 = 8 \times 26 \)). Bu nedenle 1208 sayısı 8 ile tam bölünür.
• Örnek: 765 sayısının son üç basamağı 765'tir. 765, 8'in katı değildir (765 = 8 * 95 + 5). Bu nedenle 765 sayısı 8 ile tam bölünmez.

9 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının basamakları toplamı 9'un katı ise, o sayı 9 ile kalansız bölünür. Bu kural, 3 ile bölünebilme kuralına benzerdir.

• Örnek: 8172 sayısının basamakları toplamı \( 8 + 1 + 7 + 2 = 18 \) olur. 18, 9'un katı olduğu için (18 = 9 * 2) 8172 sayısı 9 ile tam bölünür.
• Örnek: 5643 sayısının basamakları toplamı \( 5 + 6 + 4 + 3 = 18 \) olur. 18, 9'un katı olduğu için 5643 sayısı 9 ile tam bölünür.
• Örnek: 12345 sayısının basamakları toplamı \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \) olur. 15, 9'un katı olmadığı için 12345 sayısı 9 ile tam bölünmez (12345 = 9 * 1371 + 6).

10 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının birler basamağı 0 ise, o sayı 10 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 450 sayısı 10 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 0'dır.
• Örnek: 12300 sayısı 10 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 0'dır.
• Örnek: 789 sayısı 10 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 9'dur (789 = 10 * 78 + 9).

11 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının birler basamağından başlayarak, rakamlar sırasıyla toplama ve çıkarma işlemine tabi tutulur. Sağdan başlayarak ilk rakam pozitif, ikinci rakam negatif, üçüncü rakam pozitif şeklinde devam edilir. Elde edilen sonuç 0 veya 11'in katı ise, sayı 11 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 94716 sayısını inceleyelim. Sağdan başlayarak: \( +6 - 1 + 7 - 4 + 9 = 17 \). 17, 11'in katı olmadığı için 94716 sayısı 11 ile tam bölünmez.
• Örnek: 13585 sayısını inceleyelim. Sağdan başlayarak: \( +5 - 8 + 5 - 3 + 1 = 0 \). Elde edilen sonuç 0 olduğu için 13585 sayısı 11 ile tam bölünür.
• Örnek: 2728 sayısını inceleyelim. Sağdan başlayarak: \( +8 - 2 + 7 - 2 = 11 \). Elde edilen sonuç 11 olduğu için 2728 sayısı 11 ile tam bölünür.

Çözümlü Örnek:

Aşağıdaki sayılardan hangisi 3, 4 ve 11 ile kalansız bölünür?

a) 123456

b) 46200

c) 77777

Çözüm:

a) 123456:

• 3 ile bölünebilme: \( 1+2+3+4+5+6 = 21 \). 21, 3'ün katıdır. (Bölünür)
• 4 ile bölünebilme: Son iki basamak 56'dır. 56, 4'ün katıdır (\( 56 = 4 \times 14 \)). (Bölünür)
• 11 ile bölünebilme: \( +6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1 = 3 \). 3, 11'in katı değildir. (Bölünmez)

Bu sayı 11 ile bölünmediği için elenir.

b) 46200:

• 3 ile bölünebilme: \( 4+6+2+0+0 = 12 \). 12, 3'ün katıdır. (Bölünür)
• 4 ile bölünebilme: Son iki basamak 00'dır. 00, 4'ün katıdır. (Bölünür)
• 11 ile bölünebilme: \( +0 - 0 + 2 - 6 + 4 = 0 \). 0, 11'in katıdır. (Bölünür)

Bu sayı 3, 4 ve 11 ile kalansız bölünür.

c) 77777:

• 3 ile bölünebilme: \( 7+7+7+7+7 = 35 \). 35, 3'ün katı değildir. (Bölünmez)

Bu sayı 3 ile bölünmediği için elenir.

Doğru cevap b) 46200'dür.