💡 11. Sınıf Matematik: Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülünü kullanacağız. 💡
Formülümüz şuydu: Bir \( P(x_0, y_0) \) noktasının \( Ax + By + C = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) şeklindedir.

Şimdi verilenleri formülde yerine koyalım:

• A noktası \( (x_0, y_0) = (3, 2) \)
• d doğrusu \( Ax + By + C = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 1 = 0 \)
• Buradan \( A = 3, B = 4, C = -1 \) olur.

Formülü uygulayalım: \[ d = \frac{|(3)(3) + (4)(2) + (-1)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] Adım adım hesaplayalım:

• 👉 Pay kısmını hesaplayalım: \( |9 + 8 - 1| = |16| = 16 \)
• 👉 Payda kısmını hesaplayalım: \( \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Sonuç olarak: \[ d = \frac{16}{5} \] ✅ Yani, A noktasının d doğrusuna olan uzaklığı \( \frac{16}{5} \) birimdir.

Bu soruda doğru denklemi \( Ax + By + C = 0 \) şeklinde verilmemiş. İlk adımımız, doğru denklemini bu standart forma dönüştürmek olacak. 📌

• Doğru denklemi: \( y = 2x + 3 \)
• Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart forma getirelim: \( 2x - y + 3 = 0 \)
• Şimdi katsayıları belirleyelim: \( A = 2, B = -1, C = 3 \)
• Nokta: \( (x_0, y_0) = (-1, 5) \)

Uzaklık formülünü hatırlayalım: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) Verilenleri formülde yerine yazalım: \[ d = \frac{|(2)(-1) + (-1)(5) + (3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |-2 - 5 + 3| = |-4| = 4 \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

Sonuç: \[ d = \frac{4}{\sqrt{5}} \] Genellikle paydada köklü ifade bırakılmaz, bu yüzden ifadeyi eşleniğiyle çarpalım: \[ d = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \] ✅ B noktasının \( y = 2x + 3 \) doğrusuna olan uzaklığı \( \frac{4\sqrt{5}}{5} \) birimdir.

Bu örnekte noktamız özel bir nokta olan orijin \( (0, 0) \). İşlemlerimiz biraz daha kolay olacak. 😊

• Nokta: \( (x_0, y_0) = (0, 0) \)
• Doğru denklemi: \( 5x - 12y + 26 = 0 \)
• Katsayılar: \( A = 5, B = -12, C = 26 \)

Uzaklık formülünü uygulayalım: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) Değerleri yerine koyalım: \[ d = \frac{|(5)(0) + (-12)(0) + (26)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |0 + 0 + 26| = |26| = 26 \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

Sonuç: \[ d = \frac{26}{13} = 2 \] ✅ Orijin noktasının \( 5x - 12y + 26 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı 2 birimdir.

Bu problemde noktanın koordinatları bilinmiyor, ancak bir bilgi verilmiş. Hadi bu bilgiyi kullanarak noktayı ifade edelim. 🧠

• D noktasının apsisi ordinatının iki katı ise, D noktasının koordinatları \( (2k, k) \) şeklinde olabilir. (Burada \( k \) bir reel sayıdır.)
• Doğru denklemi: \( 3x - 4y - 10 = 0 \). Buradan \( A = 3, B = -4, C = -10 \).
• Uzaklık \( d = 2 \) birim olarak verilmiş.

Uzaklık formülünü kullanarak \( k \) değerini bulmaya çalışalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Verilenleri yerine yazalım: \[ 2 = \frac{|(3)(2k) + (-4)(k) + (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |6k - 4k - 10| = |2k - 10| \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Şimdi denklemi kuralım: \[ 2 = \frac{|2k - 10|}{5} \] Her iki tarafı 5 ile çarpalım: \[ 10 = |2k - 10| \] Mutlak değer özelliğinden, iki durum söz konusudur:

1. Durum 1: \( 2k - 10 = 10 \)
   • \( 2k = 20 \)
   • \( k = 10 \)
   • Bu durumda D noktasının koordinatları \( (2k, k) = (2 \cdot 10, 10) = (20, 10) \) olur.
2. Durum 2: \( 2k - 10 = -10 \)
   • \( 2k = 0 \)
   • \( k = 0 \)
   • Bu durumda D noktasının koordinatları \( (2k, k) = (2 \cdot 0, 0) = (0, 0) \) olur.

✅ D noktasının koordinatları \( (20, 10) \) veya \( (0, 0) \) olabilir.

Bu soruda, aradığımız doğrunun belirli bir doğruya paralel olması önemli bir ipucu! 💡

• Verilen doğru: \( x + 2y - 5 = 0 \). Bu doğrunun eğimi \( m = -\frac{A}{B} = -\frac{1}{2} \) dir.
• Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından, aradığımız doğruların denklemi \( x + 2y + C = 0 \) şeklinde olmalıdır. (A ve B katsayıları aynı kalır veya katları olabilir).
• Nokta: \( E(x_0, y_0) = (1, -2) \)
• Uzaklık: \( d = \sqrt{5} \) birim.

Şimdi, \( E(1, -2) \) noktasının \( x + 2y + C = 0 \) doğrusuna uzaklığını \( \sqrt{5} \) birime eşitleyelim: \[ d = \frac{|(1)(1) + (2)(-2) + C|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \] \[ \sqrt{5} = \frac{|1 - 4 + C|}{\sqrt{1 + 4}} \] \[ \sqrt{5} = \frac{|C - 3|}{\sqrt{5}} \] Denklemi düzenleyelim: \[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = |C - 3| \] \[ 5 = |C - 3| \] Mutlak değer özelliğinden, iki farklı \( C \) değeri bulabiliriz:

1. Durum 1: \( C - 3 = 5 \)
   • \( C = 8 \)
   • Bu durumda doğru denklemi: \( x + 2y + 8 = 0 \)
2. Durum 2: \( C - 3 = -5 \)
   • \( C = -2 \)
   • Bu durumda doğru denklemi: \( x + 2y - 2 = 0 \)

✅ E noktasından \( \sqrt{5} \) birim uzaklıkta bulunan ve \( x + 2y - 5 = 0 \) doğrusuna paralel olan doğrular \( x + 2y + 8 = 0 \) ve \( x + 2y - 2 = 0 \) denklemlerine sahiptir.

Bu bir yeni nesil soru gibi görünse de, aslında bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülünün direkt bir uygulamasıdır. 🤖

• Kamera noktasının koordinatları: \( K(x_0, y_0) = (2, 1) \)
• Robotun izlediği yolun denklemi: \( 4x - 3y + 15 = 0 \)
• Doğru katsayıları: \( A = 4, B = -3, C = 15 \)
• Robotun kameraya en yakın olduğu an, kamera noktasından robotun yoluna çizilen dik uzaklıktır.

Uzaklık formülümüzü uygulayalım: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) Değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \frac{|(4)(2) + (-3)(1) + (15)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |8 - 3 + 15| = |20| = 20 \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Sonuç: \[ d = \frac{20}{5} = 4 \] ✅ Robotun kameraya en yakın olduğu anda, kamera ile robot arasındaki mesafe 4 birimdir.

Bu soru, bir noktanın bir doğruya uzaklığı kavramını geometrik bir şekil üzerinde düşündürüyor. 📐 Öncelikle doğru denklemini standart forma getirelim:

• Doğru denklemi: \( y = x - 2 \Rightarrow x - y - 2 = 0 \)
• Katsayılar: \( A = 1, B = -1, C = -2 \)

Karenin köşeleri \( A(1, 1), B(5, 1), C(5, 5), D(1, 5) \) olarak verilmiş.
Bir noktanın bir doğruya uzaklığının en az olması için, bu noktanın doğruya en yakın olması gerekir. Eğer doğru kareyi kesiyorsa, en yakın mesafe 0 olabilir. Eğer kesmiyorsa, karenin köşe noktalarından birinin doğruya olan uzaklığı en küçük değeri verebilir. Doğrunun kare ile kesişip kesişmediğini anlamak için bazı köşe noktalarının doğruya olan uzaklıklarına bakalım:

1. A(1, 1) noktasının uzaklığı:

\[ d_A = \frac{|(1)(1) + (-1)(1) + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

2. B(5, 1) noktasının uzaklığı:

\[ d_B = \frac{|(1)(5) + (-1)(1) + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

3. C(5, 5) noktasının uzaklığı:

\[ d_C = \frac{|(1)(5) + (-1)(5) + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 5 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

4. D(1, 5) noktasının uzaklığı:

\[ d_D = \frac{|(1)(1) + (-1)(5) + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 5 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] Görüldüğü gibi, A, B ve C köşelerinin doğruya uzaklıkları \( \sqrt{2} \) birimdir. D köşesinin uzaklığı ise \( 3\sqrt{2} \) birimdir.
Doğrunun denklemi \( y = x - 2 \). Bu doğru, \( (2, 0) \) ve \( (0, -2) \) gibi noktalardan geçer. Karenin minimum x değeri 1, maksimum x değeri 5'tir. Minimum y değeri 1, maksimum y değeri 5'tir. Bu doğru kareyi kesiyor mu?
Örneğin, \( x = 3 \) için \( y = 3 - 2 = 1 \). Yani \( (3, 1) \) noktası doğrunun üzerindedir ve aynı zamanda karenin alt kenarı olan \( y=1 \) üzerindedir (B ve A köşeleri arasında).
Bu durumda, doğru karenin içinden geçmektedir. Eğer bir doğru bir geometrik şeklin içinden geçiyorsa, o şekil üzerindeki noktaların doğruya olan en kısa uzaklığı 0 birimdir. Çünkü doğru üzerindeki bir nokta, aynı zamanda karenin de bir noktası olabilir. ✅ Karenin üzerinde bulunan bir noktanın \( y = x - 2 \) doğrusuna olan uzaklığı en az 0 birim olabilir. (Örneğin \( (3, 1) \) noktası hem karenin \( AB \) kenarı üzerindedir hem de doğrunun üzerindedir.)

Bu senaryo, bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülünün günlük hayattaki kullanımına güzel bir örnektir. 🗺️

• Tarihi anıtın konumu: \( M(x_0, y_0) = (1, 1) \)
• Tramvay hattının güzergahı: \( 12x + 5y - 60 = 0 \)
• Doğru katsayıları: \( A = 12, B = 5, C = -60 \)

Uzaklık formülünü uygulayalım: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) Değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \frac{|(12)(1) + (5)(1) + (-60)|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |12 + 5 - 60| = |-43| = 43 \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \)

Sonuç: \[ d = \frac{43}{13} \] Yani, anıtın tramvay hattına olan uzaklığı \( \frac{43}{13} \) birimdir.
Soruda 1 birimin 100 metre olduğu bilgisi verilmiş. Bu durumda gerçek uzaklığı hesaplayalım: \[ \text{Gerçek Uzaklık} = \frac{43}{13} \times 100 \text{ metre} = \frac{4300}{13} \text{ metre} \] Yaklaşık olarak \( \frac{4300}{13} \approx 330.77 \) metredir. ✅ Tarihi anıtın tramvay hattına olan uzaklığı \( \frac{43}{13} \) birimdir, bu da yaklaşık 330.77 metreye denk gelmektedir. Bu bilgi, tramvay hattının anıta ne kadar yakın geçeceğini planlamacılara gösterir.

Gemi kaptanının durumu, yine bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülüyle modellenen tipik bir günlük hayat problemidir. 🚢

• Gemi konumu: \( G(x_0, y_0) = (4, -3) \)
• Tehlikeli sınır çizgisi: \( 3x - 4y + 20 = 0 \)
• Doğru katsayıları: \( A = 3, B = -4, C = 20 \)

En kısa uzaklık, noktanın doğruya dik uzaklığıdır. Uzaklık formülümüzü kullanalım: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) Değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \frac{|(3)(4) + (-4)(-3) + (20)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] Hesaplamaları yapalım:

• 👉 Pay: \( |12 + 12 + 20| = |44| = 44 \)
• 👉 Payda: \( \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Sonuç: \[ d = \frac{44}{5} \] ✅ Geminin tehlikeli sınır çizgisine olan en kısa uzaklığı \( \frac{44}{5} \) birimdir. Bu, kaptanın güvenli bir mesafede olup olmadığını anlaması için kritik bir bilgidir.