Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Ders Notu

Analitik geometride, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, o noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur. Bu uzaklık, doğru denklemi ve noktanın koordinatları bilindiğinde belirli bir formül ile hesaplanır.

Doğru Denkleminin Genel Hali 📝

Bir doğrunun genel denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir:

\[ Ax + By + C = 0 \]

Burada \(A\), \(B\) ve \(C\) birer sabit sayıdır ve \(A\) ile \(B\) aynı anda sıfır olamaz.

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Formülü 📍

Koordinat düzleminde, bir \(P(x_0, y_0)\) noktasının genel denklemi \(Ax + By + C = 0\) olan bir \(d\) doğrusuna olan uzaklığı \(h\) (veya \(d\)) aşağıdaki formül ile bulunur:

\[ h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Bu formülde:

• \( (x_0, y_0) \) noktanın koordinatlarıdır.
• \( A \), \( B \), \( C \) doğru denkleminin katsayılarıdır.
• Pay kısmındaki mutlak değer \(|...|\), uzaklığın her zaman pozitif bir değer olmasını sağlar.
• Payda kısmındaki karekök \( \sqrt{A^2 + B^2} \), doğru denkleminin katsayılarından türetilen bir norm değeridir.

Örnek 1️⃣

\( P(2, -1) \) noktasının \( 3x - 4y + 5 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm:

Verilenler:

• Nokta: \( (x_0, y_0) = (2, -1) \)
• Doğru denklemi: \( 3x - 4y + 5 = 0 \)
• Buradan \( A = 3 \), \( B = -4 \), \( C = 5 \)

Formülü uygulayalım:

\[ h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] \[ h = \frac{|3(2) + (-4)(-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ h = \frac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ h = \frac{|15|}{\sqrt{25}} \] \[ h = \frac{15}{5} \] \[ h = 3 \]

Bu durumda, \( P(2, -1) \) noktasının \( 3x - 4y + 5 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı 3 birimdir.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık ↔️

İki doğru birbirine paralelse, aralarındaki uzaklık her noktada sabittir. Genel denklemleri aşağıdaki gibi olan paralel iki doğru düşünelim:

Birinci doğru: \( d_1: Ax + By + C_1 = 0 \)

İkinci doğru: \( d_2: Ax + By + C_2 = 0 \)

Önemli Not: Paralel iki doğrunun \(x\) ve \(y\) katsayıları aynı veya oranlı olmalıdır. Eğer oranlı ise (örn: \(2x+4y+C_1=0\) ve \(x+2y+C_2=0\)), formülü uygulamadan önce katsayıları eşitlemek için denklemlerden biri uygun bir sayıyla çarpılmalıdır.

Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık \(h\) aşağıdaki formül ile bulunur:

\[ h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Örnek 2️⃣

\( d_1: 3x + 4y + 6 = 0 \) ve \( d_2: 3x + 4y - 9 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

Verilenler:

• \( A = 3 \), \( B = 4 \)
• \( C_1 = 6 \)
• \( C_2 = -9 \)

Formülü uygulayalım:

\[ h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] \[ h = \frac{|6 - (-9)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ h = \frac{|6 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ h = \frac{|15|}{\sqrt{25}} \] \[ h = \frac{15}{5} \] \[ h = 3 \]

Bu durumda, paralel iki doğru arasındaki uzaklık 3 birimdir.

Örnek 3️⃣

\( d_1: 2x - y + 3 = 0 \) ve \( d_2: 4x - 2y + 10 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle, \(d_1\) ve \(d_2\) doğrularının paralel olduğunu ve \(x, y\) katsayılarının oranlı olduğunu görüyoruz. \(d_2\) denklemini 2'ye bölersek \( 2x - y + 5 = 0 \) elde ederiz. Veya \(d_1\) denklemini 2 ile çarparsak \( 4x - 2y + 6 = 0 \) elde ederiz. İkinci yöntemi kullanalım.

Yeni denklemlerimiz:

• \( d_1': 4x - 2y + 6 = 0 \)
• \( d_2: 4x - 2y + 10 = 0 \)

Şimdi \( A = 4 \), \( B = -2 \), \( C_1 = 6 \), \( C_2 = 10 \).

Formülü uygulayalım:

\[ h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] \[ h = \frac{|6 - 10|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} \] \[ h = \frac{|-4|}{\sqrt{16 + 4}} \] \[ h = \frac{4}{\sqrt{20}} \]

Paydayı kökten kurtarmak için \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \) olarak yazabiliriz.

\[ h = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Paydayı rasyonel yapalım:

\[ h = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Bu durumda, paralel iki doğru arasındaki uzaklık \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \) birimdir.