📄 11. Sınıf Matematik: Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle doğru denklemini genel formda yazalım: \(y = -x + 1 \Rightarrow x + y - 1 = 0\). Nokta \(A(3, 4)\) ve doğru \(x + y - 1 = 0\) için \(x_0 = 3\), \(y_0 = 4\), \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = -1\) değerlerini uzaklık formülünde yerine koyalım: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) \(d = \frac{|1(3) + 1(4) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\) \(d = \frac{|3 + 4 - 1|}{\sqrt{1 + 1}}\) \(d = \frac{|6|}{\sqrt{2}}\) \(d = \frac{6}{\sqrt{2}}\) \(d = \frac{6\sqrt{2}}{2}\) \(d = 3\sqrt{2}\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Paralel doğrular arasındaki uzaklığı bulmak için, doğrulardan birinin üzerinde bir nokta seçeriz ve bu noktanın diğer doğruya olan uzaklığını hesaplarız. \(d_1\) doğrusu üzerinde bir nokta seçelim. Örneğin, \(x = 2\) alırsak, \(3(2) + 4y - 6 = 0 \Rightarrow 6 + 4y - 6 = 0 \Rightarrow 4y = 0 \Rightarrow y = 0\). Yani \(P(2, 0)\) noktası \(d_1\) üzerindedir. Şimdi bu noktanın \(d_2: 3x + 4y + 9 = 0\) doğrusuna olan uzaklığını bulalım: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) \(d = \frac{|3(2) + 4(0) + 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\) \(d = \frac{|6 + 0 + 9|}{\sqrt{9 + 16}}\) \(d = \frac{|15|}{\sqrt{25}}\) \(d = \frac{15}{5}\) \(d = 3\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen doğrular \(x - 2y + 3 = 0\) ve \(2x - 4y + 1 = 0\) şeklindedir. İkinci denklemi \(2\) ile bölersek \(x - 2y + \frac{1}{2} = 0\) elde ederiz. Bu da doğruların paralel olduğunu gösterir, çünkü \(x\) ve \(y\) katsayıları orantılıdır (eğimleri eşittir). Bir karenin iki kenarı paralel doğrular üzerinde ise, bu doğrular arasındaki uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşittir. Bu iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için ilk doğru üzerinde bir nokta alıp diğer doğruya olan uzaklığını hesaplayalım. \(d_1: x - 2y + 3 = 0\) doğrusu üzerinde bir nokta seçelim. Örneğin, \(y=0\) için \(x = -3\). Yani \(P(-3, 0)\) noktası \(d_1\) üzerindedir. Şimdi bu noktanın \(d_2: 2x - 4y + 1 = 0\) doğrusuna olan uzaklığını bulalım: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) \(d = \frac{|2(-3) - 4(0) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}}\) \(d = \frac{|-6 - 0 + 1|}{\sqrt{4 + 16}}\) \(d = \frac{|-5|}{\sqrt{20}}\) \(d = \frac{5}{\sqrt{20}}\) \(d = \frac{5}{2\sqrt{5}}\) \(d = \frac{5\sqrt{5}}{2 \cdot 5}\) \(d = \frac{\sqrt{5}}{2}\) birimdir. Bu uzaklık karenin bir kenar uzunluğu \(a\)'dır. Karenin alanı \(A = a^2\) olduğundan, \(A = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\) birimkaredir.