💡 11. Sınıf Matematik: Bir Doğru Parçasını İçten Bölen Noktanın Koordinatları Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için içten bölen nokta formülünü kullanacağız. Formül şöyledir:
\[ C(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_2 + n \cdot x_1}{m+n}, \frac{m \cdot y_2 + n \cdot y_1}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_1, y_1) \) A noktasının koordinatlarıdır: \( (2, 3) \)
• \( (x_2, y_2) \) B noktasının koordinatlarıdır: \( (8, 9) \)
• \( m \) ve \( n \) ise doğru parçasının böldüğü oranlardır: \( m=1, n=2 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 2}{1+2} = \frac{8 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{1 \cdot 9 + 2 \cdot 3}{1+2} = \frac{9 + 6}{3} = \frac{15}{3} = 5 \)

Bu durumda C noktasının koordinatları \( (4, 5) \) olur. ✅

İçten bölen nokta formülünü tekrar hatırlayalım:
\[ M(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_L + n \cdot x_K}{m+n}, \frac{m \cdot y_L + n \cdot y_K}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_K, y_K) \) K noktasının koordinatlarıdır: \( (-1, 5) \)
• \( (x_L, y_L) \) L noktasının koordinatlarıdır: \( (5, -7) \)
• Oran \( m:n = 2:1 \) şeklindedir. Yani \( m=2, n=1 \)

Değerleri formüle yerleştirelim:

• x koordinatı: \( x = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{2+1} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{2 \cdot (-7) + 1 \cdot 5}{2+1} = \frac{-14 + 5}{3} = \frac{-9}{3} = -3 \)

Sonuç olarak M noktasının koordinatları \( (3, -3) \) olarak bulunur. 👉

Orta nokta, doğru parçasını 1:1 oranında bölen noktadır. Bu durumda içten bölen nokta formülünde \( m=1 \) ve \( n=1 \) alabiliriz veya doğrudan orta nokta formülünü kullanabiliriz. Orta nokta formülü şöyledir:
\[ \text{Orta Nokta}(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Burada:

• \( (x_1, y_1) \) P noktasının koordinatlarıdır: \( (6, -2) \)
• \( (x_2, y_2) \) R noktasının koordinatlarıdır: \( (-3, 7) \)

Formülü uygulayalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{6 + (-3)}{2} = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} \)
• y koordinatı: \( y = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} \)

Bu durumda orta noktanın koordinatları \( \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) \) olur. ✨

Bu soruda dıştan bölen nokta formülünü kullanacağız. Dıştan bölen nokta formülü şöyledir:
\[ C(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_2 - n \cdot x_1}{m-n}, \frac{m \cdot y_2 - n \cdot y_1}{m-n} \right) \]
Burada:

• \( (x_1, y_1) \) A noktasının koordinatlarıdır: \( (1, 4) \)
• \( (x_2, y_2) \) B noktasının koordinatlarıdır: \( (7, 10) \)
• Oran \( m:n = 3:1 \) şeklindedir. Yani \( m=3, n=1 \)

Değerleri formüle yerleştirelim:

• x koordinatı: \( x = \frac{3 \cdot 7 - 1 \cdot 1}{3-1} = \frac{21 - 1}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{3 \cdot 10 - 1 \cdot 4}{3-1} = \frac{30 - 4}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)

Bu durumda C noktasının koordinatları \( (10, 13) \) olarak bulunur. 🌟

Bu problem, bir doğru parçasını içten bölen nokta problemi olarak ele alınabilir. Ali, yolun 2/3'ünü yürüdüğüne göre, A noktasından başlayarak AB doğru parçasını 2:1 oranında bölen C noktasını bulmalıyız.
İçten bölen nokta formülü:
\[ C(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n}, \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_A, y_A) \) Ali'nin evinin koordinatlarıdır: \( (-2, 1) \)
• \( (x_B, y_B) \) Okulun koordinatlarıdır: \( (4, 7) \)
• Oran \( m:n = 2:1 \) şeklindedir. Yani \( m=2, n=1 \)

Hesaplamaları yapalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{2+1} = \frac{8 - 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 1}{2+1} = \frac{14 + 1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \)

Ali'nin bulunduğu C noktasının koordinatları \( (2, 5) \) olur. 🗺️

Bu senaryoda, dinlenme alanı C noktası, A ve B parkları arasındaki doğru parçasını içten bölen bir noktadır. C noktası, A parkına daha yakın ve mesafenin 1/4'ü kadar uzaklıkta olduğuna göre, AB doğru parçasını 1:3 oranında böler. Yani \( m=1 \) ve \( n=3 \) olacaktır.
İçten bölen nokta formülü:
\[ C(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n}, \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_A, y_A) \) A parkının koordinatlarıdır: \( (1, 2) \)
• \( (x_B, y_B) \) B parkının koordinatlarıdır: \( (7, 8) \)
• Oran \( m:n = 1:3 \) şeklindedir. Yani \( m=1, n=3 \)

Hesaplamalar:

• x koordinatı: \( x = \frac{1 \cdot 7 + 3 \cdot 1}{1+3} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
• y koordinatı: \( y = \frac{1 \cdot 8 + 3 \cdot 2}{1+3} = \frac{8 + 6}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)

Dinlenme alanı C noktasının koordinatları \( \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) \) olarak bulunur. 🏞️

Bu soruda, doğru parçasını içten bölen nokta formülünü kullanacağız. E noktasına daha yakın olacak şekilde 1:3 oranında bölmek demek, D noktasından başlayarak E noktasına doğru gidildiğinde, D'den F'ye olan mesafenin, F'den E'ye olan mesafenin 1/3'ü kadar olması demektir. Bu da \( m=1, n=3 \) oranına karşılık gelir.
İçten bölen nokta formülü:
\[ F(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_E + n \cdot x_D}{m+n}, \frac{m \cdot y_E + n \cdot y_D}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_D, y_D) \) D noktasının koordinatlarıdır: \( (-4, -2) \)
• \( (x_E, y_E) \) E noktasının koordinatlarıdır: \( (2, 4) \)
• Oran \( m:n = 1:3 \) şeklindedir. Yani \( m=1, n=3 \)

Hesaplamaları yapalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot (-4)}{1+3} = \frac{2 - 12}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \)
• y koordinatı: \( y = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2)}{1+3} = \frac{4 - 6}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

F noktasının koordinatları \( \left(-\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) olarak bulunur. 💯

Bu durum, P ve Q noktalarını birleştiren doğru parçasını dıştan bölen bir noktayı ifade eder. Karakter, hedef noktasına ulaşmadan önce P'den Q'ya doğru ilerlerken, P'den Q'ya olan mesafenin 2 katı kadar bir noktada enerji bulduğuna göre, bu nokta P'den başlayarak PQ doğru parçasını 2:1 oranında dıştan böler. Yani \( m=2, n=1 \) olacaktır.
Dıştan bölen nokta formülü:
\[ R(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_Q - n \cdot x_P}{m-n}, \frac{m \cdot y_Q - n \cdot y_P}{m-n} \right) \]
Burada:

• \( (x_P, y_P) \) P noktasının koordinatlarıdır: \( (-3, 6) \)
• \( (x_Q, y_Q) \) Q noktasının koordinatlarıdır: \( (9, -6) \)
• Oran \( m:n = 2:1 \) şeklindedir. Yani \( m=2, n=1 \)

Hesaplamaları yapalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{2 \cdot 9 - 1 \cdot (-3)}{2-1} = \frac{18 + 3}{1} = 21 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{2 \cdot (-6) - 1 \cdot 6}{2-1} = \frac{-12 - 6}{1} = -18 \)

Enerji paketinin bulunduğu noktanın koordinatları \( (21, -18) \) olarak bulunur. 💎

Bu soruyu çözmek için içten bölen nokta formülünü kullanacağız. Formül şöyledir:
\[ Z(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_Y + n \cdot x_X}{m+n}, \frac{m \cdot y_Y + n \cdot y_X}{m+n} \right) \]
Burada:

• \( (x_X, y_X) \) X noktasının koordinatlarıdır: \( (5, 10) \)
• \( (x_Y, y_Y) \) Y noktasının koordinatlarıdır: \( (1, 2) \)
• Oran \( m:n = 3:1 \) şeklindedir. Yani \( m=3, n=1 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

• x koordinatı: \( x = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{3+1} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
• y koordinatı: \( y = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot 10}{3+1} = \frac{6 + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)

Bu durumda Z noktasının koordinatları \( (2, 4) \) olur. ✅