📝 11. Sınıf Matematik: Bir Doğru Parçasını İçten Bölen Noktanın Koordinatları Ders Notu
Bir Doğru Parçasını İçten Bölen Noktanın Koordinatları
Analitik geometrinin temel konularından biri olan doğru parçasını içten bölen noktanın koordinatlarını bulma, iki nokta arasındaki ilişkiyi anlamak için önemlidir. Bu konu, özellikle mühendislik, mimarlık ve haritacılık gibi alanlarda karşımıza çıkan problemlerin çözümünde temel oluşturur.
İçten Bölme Formülü
Analitik düzlemde A ve B noktaları verilsin. A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) \) olsun. Bu doğru parçasını, A noktasından başlayarak \( m \) birim ve B noktasından başlayarak \( n \) birim uzaklıkta olacak şekilde içten bölen C noktasının koordinatları \( (x, y) \) aşağıdaki formülle bulunur:
\[ x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n} \] \[ y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \]Burada \( m \) ve \( n \) pozitif reel sayılardır ve C noktasının AB doğru parçasına olan uzaklık oranlarını temsil eder. Yani, AC doğru parçası \( m \) ile, CB doğru parçası ise \( n \) ile orantılıdır. Bu oranlar genellikle \( \frac{AC}{CB} = \frac{m}{n} \) şeklinde ifade edilir.
Örnek 1: Temel Uygulama
A noktasının koordinatları \( (2, 3) \) ve B noktasının koordinatları \( (8, 9) \) olsun. Bu doğru parçasını, A'ya 1 birim, B'ye 2 birim uzaklıkta olacak şekilde içten bölen C noktasının koordinatlarını bulalım.
Bu durumda \( m = 1 \) ve \( n = 2 \) olur. Formülü uygulayalım:
x-koordinatı için:
\[ x = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1+2} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]y-koordinatı için:
\[ y = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 9}{1+2} = \frac{6 + 9}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]Buna göre, C noktasının koordinatları \( (4, 5) \) olur.
Özel Durum: Orta Nokta
Eğer bir doğru parçası tam ortadan ikiye bölünüyorsa, yani \( m = n \) ise, bu nokta doğru parçasının orta noktasıdır. Bu durumda formül basitleşir:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]Örnek 2: Orta Nokta Bulma
A noktasının koordinatları \( (-1, 5) \) ve B noktasının koordinatları \( (7, -3) \) olsun. AB doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulalım.
Orta nokta formülünü kullanalım:
x-koordinatı için:
\[ x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]y-koordinatı için:
\[ y = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]Orta noktanın koordinatları \( (3, 1) \) olur.
Örnek 3: Oran Verildiğinde
A noktasının koordinatları \( (1, 7) \) ve B noktasının koordinatları \( (10, -2) \) olsun. C noktası, AB doğru parçasını \( \frac{AC}{CB} = \frac{1}{2} \) oranında içten bölmektedir. C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Verilen oran \( \frac{AC}{CB} = \frac{m}{n} = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( m = 1 \) ve \( n = 2 \) alabiliriz.
x-koordinatı için:
\[ x = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 10}{1+2} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]y-koordinatı için:
\[ y = \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot (-2)}{1+2} = \frac{14 - 2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]C noktasının koordinatları \( (4, 4) \) olur.
Günlük Hayattan Bir Örnek 🏠
Bir parkta A ve B noktaları arasında düz bir yürüyüş yolu bulunmaktadır. Parkın A noktasında bir çeşme ve B noktasında bir bank vardır. Bu yol üzerinde, çeşmeye banktan daha yakın olacak şekilde bir dinlenme noktası yapılacaktır. Eğer çeşme \( (0, 0) \) noktasında ve bank \( (12, 8) \) noktasında ise ve dinlenme noktasının çeşmeye olan uzaklığının, banka olan uzaklığına oranı \( \frac{1}{3} \) ise, dinlenme noktasının koordinatları ne olur?
Bu durumda A noktası \( (0, 0) \) ve B noktası \( (12, 8) \) olur. Oran \( \frac{AC}{CB} = \frac{m}{n} = \frac{1}{3} \) olduğundan, \( m = 1 \) ve \( n = 3 \) alabiliriz.
x-koordinatı için:
\[ x = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{1+3} = \frac{0 + 12}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]y-koordinatı için:
\[ y = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 8}{1+3} = \frac{0 + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]Dinlenme noktasının koordinatları \( (3, 2) \) olur.