💡 11. Sınıf Matematik: Asal çarpanlar ve bölme bölünebilme Çözümlü Örnekler

720 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemi yaparız:

• 720 ÷ 2 = 360
• 360 ÷ 2 = 180
• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Bu adımları takip ederek 720 sayısını şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz: \( 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \). ✅

Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor: \( 180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) Asal çarpanlarına ayrılmış şekilde \( a^x \times b^y \times c^z \) olan bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı \( (x+1)(y+1)(z+1) \) formülü ile bulunur. Bu durumda, 180 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: \( (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18 \) olur. 👉 Yani 180 sayısının 18 tane pozitif tam böleni vardır.

İlk adım olarak 480 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız:

• 480 ÷ 2 = 240
• 240 ÷ 2 = 120
• 120 ÷ 2 = 60
• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Böylece 480 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5 olarak bulunur. Bu asal çarpanlar içinde en büyüğü 5, en küçüğü ise 2'dir. Bu iki sayının toplamı: \( 5 + 2 = 7 \) olur. ✅

Bir sayının 3, 4 ve 6 ile tam bölünebilmesi için, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) ile tam bölünebilmesi gerekir. Şimdi 3, 4 ve 6 sayılarının EKOK'unu bulalım:

• 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, ...
• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, ...

Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir. Yani \( EKOK(3, 4, 6) = 12 \). Bu nedenle, bir sayının 3, 4 ve 6 ile tam bölünebilmesi için 12 ile tam bölünebilmesi gerekir. 👉

Bu problemi çözmek için bölünebilme kurallarını ve denklem kurmayı kullanacağız. Manavın elindeki elma sayısına \( x \) diyelim. Soruda verilen bilgilere göre şu denklemleri yazabiliriz:

• \( x \equiv 3 \pmod{5} \) (5'e bölündüğünde 3 kalanını verir)
• \( x \equiv 2 \pmod{7} \) (7'ye bölündüğünde 2 kalanını verir)

İlk denklemden \( x \) sayısının 5'in katlarından 3 fazla olduğunu anlarız: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93, 98, ... İkinci denklemden \( x \) sayısının 7'nin katlarından 2 fazla olduğunu anlarız: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, 93, 100, ... Bu iki listeyi karşılaştırdığımızda, her iki koşulu da sağlayan sayıları buluruz. Bu sayılar 23, 58, 93, ... şeklinde ilerler. Bu sayılar arasındaki fark 35'tir. Bu, \( EKOK(5, 7) = 35 \) ile ilgilidir. Yani \( x \) sayısı \( 35k + 23 \) şeklinde ifade edilebilir. Manavın elindeki elma sayısı 100'den az olduğuna göre, \( 35k + 23 < 100 \) olmalıdır. Eğer \( k=0 \) ise \( x = 23 \) Eğer \( k=1 \) ise \( x = 35(1) + 23 = 58 \) Eğer \( k=2 \) ise \( x = 35(2) + 23 = 70 + 23 = 93 \) Eğer \( k=3 \) ise \( x = 35(3) + 23 = 105 + 23 = 128 \) (Bu 100'den büyük) Bu durumda 100'den az olan en büyük elma sayısı 93'tür. ✅

Bu problemde bölme işlemini kullanacağız. Pastanecinin elindeki toplam kek sayısı 150 ve her pakette 6 kek bulunuyor. Toplam kek sayısını paket başına düşen kek sayısına bölerek tam paket sayısını ve kalanı bulabiliriz: \( 150 \div 6 \) Bölme işlemini yapalım:

• \( 150 = 6 \times 25 \)

Bu durumda, 150 sayısını 6'ya böldüğümüzde sonuç 25 ve kalan 0'dır. Yani, pastanecinin elindeki 150 kekin tamamı tam olarak paketlenebilir. 👉

• Tam paket sayısı: 25
• Paketsiz kalan kek sayısı: 0

✅

Bu soruyu çözmek için öncelikle 20 ile 30 arasındaki sayıları ve asal çarpanlarını incelememiz gerekiyor. Ardından her sayının asal çarpanlarının toplamını bulup sayının kendisiyle karşılaştıracağız. İki basamaklı sayılarımız: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29. Şimdi bu sayıların asal çarpanlarını ve toplamlarını bulalım:

• 21: Asal çarpanları 3 ve 7. Toplamı \( 3+7=10 \). \( 10 < 21 \). Özeldir. ✅
• 22: Asal çarpanları 2 ve 11. Toplamı \( 2+11=13 \). \( 13 < 22 \). Özeldir. ✅
• 23: Asal çarpanı 23 (kendisi asal). Toplamı 23. \( 23 \not< 23 \). Özel değildir. ❌
• 24: Asal çarpanları 2 ve 3. Toplamı \( 2+3=5 \). \( 5 < 24 \). Özeldir. ✅
• 25: Asal çarpanı 5. Toplamı 5. \( 5 < 25 \). Özeldir. ✅
• 26: Asal çarpanları 2 ve 13. Toplamı \( 2+13=15 \). \( 15 < 26 \). Özeldir. ✅
• 27: Asal çarpanı 3. Toplamı 3. \( 3 < 27 \). Özeldir. ✅
• 28: Asal çarpanları 2 ve 7. Toplamı \( 2+7=9 \). \( 9 < 28 \). Özeldir. ✅
• 29: Asal çarpanı 29 (kendisi asal). Toplamı 29. \( 29 \not< 29 \). Özel değildir. ❌

Bu aralıkta özel olan sayılar 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28'dir. Toplamda 7 tane "özel" sayı vardır. 👉

360 sayısını asal çarpanlarına ayırarak asal çarpanlarını belirleyebiliriz:

• \( 360 = 36 \times 10 \)
• \( 36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^2 \times 3^2 \)
• \( 10 = 2 \times 5 \)
• Birleştirirsek: \( 360 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)

360 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayılar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla, 360 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır. ✅

Öncelikle 100 ile 200 arasındaki 11 ile tam bölünebilen sayıları bulalım. Bu sayılar 11'in katlarıdır. \( 11 \times 10 = 110 \) \( 11 \times 11 = 121 \) \( 11 \times 12 = 132 \) \( 11 \times 13 = 143 \) \( 11 \times 14 = 154 \) \( 11 \times 15 = 165 \) \( 11 \times 16 = 176 \) \( 11 \times 17 = 187 \) \( 11 \times 18 = 198 \) Bu sayılar 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198'dir. Şimdi bu sayılardan çift olanları seçelim. Bir sayının çift olması için birler basamağının 0, 2, 4, 6 veya 8 olması gerekir. Çift sayılarımız: 110, 132, 154, 176, 198. Bu listede 5 tane çift sayı bulunmaktadır. 👉 Yani, 100 ile 200 arasındaki 11 ile tam bölünebilen 5 tane çift sayı vardır. ✅