Asal çarpanlar ve bölme bölünebilme Ders Notu

11. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlar ve Bölünebilme Kuralları

Bu bölümde, bir sayının asal çarpanlarına nasıl ayrılacağını ve sayıların bölünebilme kurallarını öğreneceğiz. Asal çarpanlar, bir sayıyı oluşturan asal sayıların çarpımıdır. Bölünebilme kuralları ise bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini pratik yollarla anlamamızı sağlar.

Asal Çarpanlara Ayırma

Her pozitif tam sayı, 1'den farklı ve asal olan sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu gösterime o sayının asal çarpanlarına ayrılmış şekli denir. Bu ayrımı bulmak için en küçük asal sayılardan başlayarak sırayla bölme işlemi yaparız.

Örnek 1: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

72 sayısını en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölelim:
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e geçelim:
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

Bölme işlemi 1'e ulaştığında dururuz. Elde ettiğimiz asal bölenler şunlardır: 2, 2, 2, 3, 3.
Bu durumda 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli şu şekildedir: \[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \]

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini anlamak için bazı pratik kurallar mevcuttur. Bu kurallar, özellikle büyük sayılarla işlem yaparken bize zaman kazandırır.

2 ile Bölünebilme

Birler basamağı çift rakamlardan (0, 2, 4, 6, 8) biri ise o sayı 2 ile tam bölünür.

• Örnek: 134 sayısı 2 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 4'tür.
• Örnek: 57 sayısı 2 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 7'dir.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise o sayı 3 ile tam bölünür.

• Örnek: 258 sayısının rakamları toplamı \( 2 + 5 + 8 = 15 \) olur. 15, 3'ün katı olduğu için 258 sayısı 3 ile tam bölünür.
• Örnek: 412 sayısının rakamları toplamı \( 4 + 1 + 2 = 7 \) olur. 7, 3'ün katı olmadığı için 412 sayısı 3 ile tam bölünmez.

4 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise o sayı 4 ile tam bölünür.

• Örnek: 1376 sayısının son iki basamağı 76'dır. 76, 4'ün katı olduğu için ( \( 76 = 4 \times 19 \) ) 1376 sayısı 4 ile tam bölünür.
• Örnek: 5230 sayısının son iki basamağı 30'dur. 30, 4'ün katı olmadığı için 5230 sayısı 4 ile tam bölünmez.

5 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise o sayı 5 ile tam bölünür.

• Örnek: 450 sayısı 5 ile tam bölünür.
• Örnek: 785 sayısı 5 ile tam bölünür.
• Örnek: 912 sayısı 5 ile tam bölünmez.

6 ile Bölünebilme

Bir sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünmesi gerekmektedir.

• Örnek: 312 sayısı hem 2 ile (birler basamağı 2) hem de 3 ile (rakamları toplamı \( 3+1+2=6 \)) tam bölünür. Dolayısıyla 312 sayısı 6 ile tam bölünür.

9 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise o sayı 9 ile tam bölünür.

• Örnek: 729 sayısının rakamları toplamı \( 7 + 2 + 9 = 18 \) olur. 18, 9'un katı olduğu için 729 sayısı 9 ile tam bölünür.

10 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı 0 ise o sayı 10 ile tam bölünür.

• Örnek: 1230 sayısı 10 ile tam bölünür.

Çözümlü Örnek 2: 480 sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve 3 ile bölünüp bölünmediğini kontrol ediniz.

Önce 480 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
480 ÷ 2 = 240
240 ÷ 2 = 120
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

480 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \[ 480 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^5 \times 3^1 \times 5^1 \]

Şimdi 480 sayısının 3 ile bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Rakamları toplamı: \( 4 + 8 + 0 = 12 \)
12 sayısı 3'ün katı olduğu için 480 sayısı 3 ile tam bölünür.

Günlük Yaşamdan Bir Örnek

Bir pastanede 120 adet kurabiye var. Bu kurabiyeler 3 kişiye eşit olarak paylaştırılacak. Her bir kişiye kaç kurabiye düşer? Bu soruyu cevaplamak için 120 sayısının 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edebiliriz. 120 sayısının rakamları toplamı \( 1+2+0 = 3 \) tür. 3, 3'ün katı olduğu için 120 sayısı 3'e tam bölünür. \( 120 \div 3 = 40 \). Her bir kişiye 40 kurabiye düşer.