📄 11. Sınıf Matematik: Asal çarpanlar ve bölme bölünebilme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Fidanların eşit aralıklarla ve en az sayıda olması için aralık mesafesinin, tarlanın kenar uzunluklarının en büyük ortak böleni (EBOB) olması gerekir.
Öncelikle 48 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım:
\(48 = 2^4 \cdot 3\)
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)
EBOB(48, 60) = \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\) cm.
Bu durumda fidanlar 12 cm aralıklarla dikilecektir.
Tarlanın çevresini bulalım: Çevre = \(2 \cdot (uzunluk + genişlik) = 2 \cdot (48 + 60) = 2 \cdot 108 = 216\) cm.
Toplam fidan sayısı = Çevre / EBOB = \(216 / 12 = 18\) fidan.
Cevap: En az 18 fidan gereklidir.

💡 Çözüm Adımları:

Kalem sayısına \(x\) diyelim.
Soruda verilen bilgilere göre, \(x\) sayısı 4'e bölündüğünde 2 kalanını, 6'ya bölündüğünde de 2 kalanını vermektedir. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
\(x \equiv 2 \pmod{4}\)
\(x \equiv 2 \pmod{6}\)
Bu demektir ki \(x - 2\) sayısı hem 4'ün hem de 6'nın tam katıdır. Yani \(x - 2\) sayısı, 4 ve 6'nın en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olmalıdır.
EKOK(4, 6) değerini bulalım:
\(4 = 2^2\)
\(6 = 2 \cdot 3\)
EKOK(4, 6) = \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\).
O halde, \(x - 2 = 12k\) şeklinde yazılabilir, burada \(k\) bir tam sayıdır.
Buradan \(x = 12k + 2\) olur.
Soruda kalem sayısının 100'den fazla olduğu belirtilmiştir. Yani \(x > 100\) olmalıdır.
\(12k + 2 > 100\)
\(12k > 98\)
\(k > 98 / 12\)
\(k > 8.16...\)
\(k\) bir tam sayı olduğu için, \(k\)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 9'dur.
Şimdi \(k = 9\) değerini \(x = 12k + 2\) denkleminde yerine koyalım:
\(x = 12 \cdot 9 + 2\)
\(x = 108 + 2\)
\(x = 110\)
Cevap: Bu markette en az 110 kalem vardır.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki her bir asal çarpanın üssünü 1 artırıp bu değerleri çarparız.
Verilen sayı: \(A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\)
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı = \((3+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1)\)
= \(4 \cdot 3 \cdot 2\)
= \(24\)

Şimdi asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısını bulalım.
Öncelikle \(A\) sayısının asal çarpanlarını belirleyelim. \(A\) sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 adet asal böleni vardır.
Asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı = (Tüm pozitif bölenlerinin sayısı) - (Asal bölenlerinin sayısı)
= \(24 - 3\)
= \(21\)
Cevap: \(A\) sayısının 24 adet pozitif tam sayı böleni ve 21 adet asal olmayan pozitif böleni vardır.