Elektriksel Potansiyel Enerji Ders Notu

Elektriksel Potansiyel Enerji ve Potansiyel Farkı

Elektriksel potansiyel enerji, bir cismin bulunduğu konuma göre sahip olduğu enerjidir. Elektrik alan içerisinde bulunan bir yükün, alanın etkisiyle sahip olduğu enerjiyi ifade eder. Bu enerji, yükün konumu değiştikçe değişir. Elektriksel potansiyel enerji, iş ile yakından ilişkilidir. Bir yükü, elektrik alan içerisindeki bir noktadan başka bir noktaya taşımak için yapılan iş, bu noktalar arasındaki elektriksel potansiyel enerji farkına eşittir.

Elektriksel Potansiyel Enerji Tanımı

Noktasal bir q yükünü, sonsuzdan d kadar uzaklıktaki bir noktaya, başka bir Q noktasal yükünün oluşturduğu elektrik alan içine getirmek için yapılan iş, bu q yükünün Q yüküne göre elektriksel potansiyel enerjisidir.

İki noktasal yük arasındaki elektriksel potansiyel enerji şu formülle ifade edilir:

\[ E_p = k \frac{Q \cdot q}{d} \]

Burada:

• \( E_p \): Elektriksel potansiyel enerji (Joule, J)
• \( k \): Coulomb sabiti (\( \approx 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \))
• \( Q \): Kaynak yükün büyüklüğü (Coulomb, C)
• \( q \): Test yükünün büyüklüğü (Coulomb, C)
• \( d \): Yükler arasındaki uzaklık (metre, m)

Eğer sistemde birden fazla yük varsa, toplam elektriksel potansiyel enerji, her bir yük çiftinin potansiyel enerjilerinin cebirsel toplamına eşittir.

Elektriksel Potansiyel

Elektriksel potansiyel, birim yük başına düşen elektriksel potansiyel enerjidir. Bir noktadaki elektriksel potansiyel, o noktaya sonsuzdan birim pozitif yük getirmek için yapılan iştir.

Bir Q noktasal yükünün oluşturduğu elektrik alan içinde, d kadar uzaklıktaki bir noktada oluşan elektriksel potansiyel şu şekilde bulunur:

\[ V = k \frac{Q}{d} \]

Burada:

• \( V \): Elektriksel potansiyel (Volt, V)
• \( k \): Coulomb sabiti
• \( Q \): Kaynak yükün büyüklüğü
• \( d \): Kaynak yükten olan uzaklık

Potansiyel Farkı (Gerilim)

İki nokta arasındaki potansiyel farkı, bu noktalar arasındaki elektriksel potansiyel enerji farkının, yük miktarına oranıdır. Başka bir deyişle, bir yükü bir noktadan diğerine taşımak için yapılan iştir.

A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı \( V_{AB} \) şu şekilde tanımlanır:

\[ V_{AB} = V_B - V_A \]

Aynı zamanda, bir \( q \) yükünü A noktasından B noktasına taşımak için yapılan iş \( W_{AB} \) ile potansiyel farkı arasındaki ilişki şöyledir:

\[ W_{AB} = q \cdot V_{AB} = q \cdot (V_B - V_A) \]

Örnek 1:

Birbirinden 0.5 m uzaklıkta bulunan \( +2 \times 10^{-6} \) C ve \( -3 \times 10^{-6} \) C luk iki noktasal yük arasındaki elektriksel potansiyel enerjiyi bulunuz.

Çözüm:

Verilenler:

• \( Q = +2 \times 10^{-6} \) C
• \( q = -3 \times 10^{-6} \) C
• \( d = 0.5 \) m
• \( k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \)

Formül:

\[ E_p = k \frac{Q \cdot q}{d} \]

Hesaplama:

\[ E_p = (9 \times 10^9) \frac{(+2 \times 10^{-6}) \cdot (-3 \times 10^{-6})}{0.5} \] \[ E_p = (9 \times 10^9) \frac{-6 \times 10^{-12}}{0.5} \] \[ E_p = (9 \times 10^9) \cdot (-12 \times 10^{-12}) \] \[ E_p = -108 \times 10^{-3} \, \text{J} \] \[ E_p = -0.108 \, \text{J} \]

Yükler arasındaki elektriksel potansiyel enerji -0.108 Joule'dür. Negatif olması, yüklerin zıt işaretli olduğunu ve birbirlerini çektiklerini gösterir.

Örnek 2:

Şekil 1'deki gibi, \( Q_1 = +4 \times 10^{-6} \) C ve \( Q_2 = -6 \times 10^{-6} \) C yükleri arasındaki uzaklık 0.2 m'dir. \( Q_1 \) yükünün \( Q_2 \) yükü etrafında oluşturduğu potansiyeli ve \( Q_2 \) yükünün \( Q_1 \) yükü etrafında oluşturduğu potansiyeli hesaplayınız.

Çözüm:

\( Q_1 \) yükünün \( Q_2 \) etrafında oluşturduğu potansiyel:

• \( Q_1 = +4 \times 10^{-6} \) C
• \( d = 0.2 \) m
• \( k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \)

Formül:

\[ V_1 = k \frac{Q_1}{d} \]

Hesaplama:

\[ V_1 = (9 \times 10^9) \frac{+4 \times 10^{-6}}{0.2} \] \[ V_1 = (9 \times 10^9) \cdot (20 \times 10^{-6}) \] \[ V_1 = 180 \times 10^3 \, \text{V} \] \[ V_1 = 180000 \, \text{V} \]

\( Q_2 \) yükünün \( Q_1 \) etrafında oluşturduğu potansiyel:

• \( Q_2 = -6 \times 10^{-6} \) C
• \( d = 0.2 \) m
• \( k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \)

Formül:

\[ V_2 = k \frac{Q_2}{d} \]

Hesaplama:

\[ V_2 = (9 \times 10^9) \frac{-6 \times 10^{-6}}{0.2} \] \[ V_2 = (9 \times 10^9) \cdot (-30 \times 10^{-6}) \] \[ V_2 = -270 \times 10^3 \, \text{V} \] \[ V_2 = -270000 \, \text{V} \]

Örnek 3:

Birbirinden 0.3 m uzaklıkta bulunan \( Q_1 = +5 \times 10^{-6} \) C ve \( Q_2 = +10 \times 10^{-6} \) C yükleri arasındaki toplam elektriksel potansiyel enerjiyi bulunuz.

Çözüm:

Verilenler:

• \( Q_1 = +5 \times 10^{-6} \) C
• \( Q_2 = +10 \times 10^{-6} \) C
• \( d = 0.3 \) m
• \( k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \)

Formül:

\[ E_p = k \frac{Q_1 \cdot Q_2}{d} \]

Hesaplama:

\[ E_p = (9 \times 10^9) \frac{(+5 \times 10^{-6}) \cdot (+10 \times 10^{-6})}{0.3} \] \[ E_p = (9 \times 10^9) \frac{50 \times 10^{-12}}{0.3} \] \[ E_p = (9 \times 10^9) \cdot (\frac{500}{3} \times 10^{-12}) \] \[ E_p = 3 \times 10^9 \times 50 \times 10^{-12} \] \[ E_p = 150 \times 10^{-3} \, \text{J} \] \[ E_p = 0.15 \, \text{J} \]

Yükler arasındaki elektriksel potansiyel enerji 0.15 Joule'dür. Pozitif olması, yüklerin aynı işaretli olduğunu ve birbirlerini ittiklerini gösterir.

Örnek 4:

Bir \( q = +2 \times 10^{-6} \) C yükünü, bir \( Q = +5 \times 10^{-6} \) C yükünün oluşturduğu elektrik alan içinde, 0.4 m uzaklıktan 0.2 m uzaklığa getirmek için ne kadar iş yapılmalıdır?

Çözüm:

Öncelikle, \( Q \) yükünün oluşturduğu potansiyel alan içinde, ilk ve son noktalardaki potansiyelleri hesaplayalım.

İlk uzaklık \( d_1 = 0.4 \) m, son uzaklık \( d_2 = 0.2 \) m.

İlk noktadaki potansiyel \( V_1 \):

\[ V_1 = k \frac{Q}{d_1} = (9 \times 10^9) \frac{+5 \times 10^{-6}}{0.4} = (9 \times 10^9) \cdot (12.5 \times 10^{-6}) = 112.5 \times 10^3 \, \text{V} \]

Son noktadaki potansiyel \( V_2 \):

\[ V_2 = k \frac{Q}{d_2} = (9 \times 10^9) \frac{+5 \times 10^{-6}}{0.2} = (9 \times 10^9) \cdot (25 \times 10^{-6}) = 225 \times 10^3 \, \text{V} \]

Potansiyel farkı \( V_{21} = V_2 - V_1 \):

\[ V_{21} = 225 \times 10^3 \, \text{V} - 112.5 \times 10^3 \, \text{V} = 112.5 \times 10^3 \, \text{V} \]

Yapılan iş \( W \):

\[ W = q \cdot V_{21} = (+2 \times 10^{-6} \, \text{C}) \cdot (112.5 \times 10^3 \, \text{V}) \] \[ W = 225 \times 10^{-3} \, \text{J} \] \[ W = 0.225 \, \text{J} \]

Yükü 0.4 m'den 0.2 m'ye getirmek için 0.225 Joule iş yapılmalıdır. Bu iş pozitif olduğundan, dışarıdan enerji verilmesi gerektiğini gösterir.