🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Yükseklik Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Yükseklik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninin taban kenarı BC uzunluğu \( 10 \) cm ve bu tabana ait yükseklik \( 6 \) cm'dir. Bu üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Üçgenin Alanı Formülü: Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
- 👉 Verilenler: Taban \( a = 10 \) cm, Yükseklik \( h_a = 6 \) cm.
- ✅ Alan formülünü uygulayalım: \[ \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{10 \times 6}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{60}{2} \] \[ \text{Alan} = 30 \text{ cm}^2 \]
- Buna göre, ABC üçgeninin alanı \( 30 \text{ cm}^2 \)dir.
Örnek 2:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB kenarı AC kenarına eşittir ve uzunlukları \( 13 \) cm'dir. BC tabanının uzunluğu \( 10 \) cm olduğuna göre, A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
- 💡 İkizkenar Üçgenin Özelliği: İkizkenar bir üçgende tepe açısından (eşit kenarların birleştiği açı) tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler ve aynı zamanda açıortaydır.
- 👉 Verilenler: \( |AB| = |AC| = 13 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm.
- 📌 A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğe AD diyelim. D noktası BC kenarının orta noktası olacaktır.
- Bu durumda \( |BD| = |DC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm olur.
- ✅ Şimdi ABD dik üçgenine bakalım. Bu bir dik üçgendir (\( \angle ADB = 90^\circ \)).
- Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz: \( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
- \( 13^2 = |AD|^2 + 5^2 \)
- \( 169 = |AD|^2 + 25 \)
- \( |AD|^2 = 169 - 25 \)
- \( |AD|^2 = 144 \)
- \( |AD| = \sqrt{144} \)
- \( |AD| = 12 \) cm.
- Buna göre, yüksekliğin uzunluğu \( 12 \) cm'dir.
Örnek 3:
Bir kenar uzunluğu \( 6 \) cm olan eşkenar bir üçgenin yüksekliğini ve alanını bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Eşkenar Üçgenin Özelliği: Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşit ve tüm açılar \( 60^\circ \)dir. Yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.
- 👉 Verilen: Kenar uzunluğu \( a = 6 \) cm.
- 📌 Yüksekliği bulmak için üçgeni iki adet 30-60-90 özel dik üçgenine ayırabiliriz.
- Bir köşeden karşı kenara yükseklik indirdiğimizde, bu yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. Yani, tabanın yarısı \( \frac{6}{2} = 3 \) cm olur.
- Oluşan dik üçgende hipotenüs \( 6 \) cm, bir dik kenar \( 3 \) cm'dir. Yükseklik \( h \) ise diğer dik kenardır.
- ✅ Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( 6^2 = h^2 + 3^2 \)
- \( 36 = h^2 + 9 \)
- \( h^2 = 36 - 9 \)
- \( h^2 = 27 \)
- \( h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \) cm.
- Yüksekliğin uzunluğu \( 3\sqrt{3} \) cm'dir.
- Şimdi alanı hesaplayalım: \[ \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{6 \times 3\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{18\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
- Eşkenar üçgenin alanı \( 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)dir.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \)dir. Hipotenüs BC üzerine A köşesinden AD yüksekliği indirilmiştir. \( |BD| = 4 \) cm ve \( |DC| = 9 \) cm olduğuna göre, AD yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Öklid Bağıntıları: Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse yükseklik indirildiğinde oluşan parçalar ve kenarlar arasında belirli bağıntılar vardır. Yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- 👉 Verilenler: \( |BD| = 4 \) cm, \( |DC| = 9 \) cm.
- 📌 \( h_a \) ile gösterilen AD yüksekliğinin uzunluğunu bulmak için Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanırız.
- ✅ Yükseklik bağıntısı: \( h_a^2 = |BD| \times |DC| \)
- \( |AD|^2 = 4 \times 9 \)
- \( |AD|^2 = 36 \)
- \( |AD| = \sqrt{36} \)
- \( |AD| = 6 \) cm.
- Buna göre, AD yüksekliğinin uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
Örnek 5:
Taban ayrıtı \( 5 \) cm ve yüksekliği \( 8 \) cm olan bir kare prizmanın hacmini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Kare Prizmanın Hacmi: Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Kare prizmada taban bir karedir.
- 👉 Verilenler: Taban ayrıtı \( a = 5 \) cm, Yükseklik \( h = 8 \) cm.
- 📌 Öncelikle taban alanını hesaplayalım. Taban bir kare olduğu için alanı \( a^2 \) formülüyle bulunur.
- Taban Alanı \( = a \times a = 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2 \).
- ✅ Şimdi hacim formülünü uygulayalım: \[ \text{Hacim} = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \] \[ \text{Hacim} = 25 \text{ cm}^2 \times 8 \text{ cm} \] \[ \text{Hacim} = 200 \text{ cm}^3 \]
- Buna göre, kare prizmanın hacmi \( 200 \text{ cm}^3 \)tür.
Örnek 6:
Taban ayrıtı \( 6 \) cm olan bir kare piramidin yanal ayrıt uzunluğu \( 5 \) cm'dir. Bu piramidin hacmini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Kare Piramidin Hacmi: Bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.
- 👉 Verilenler: Taban ayrıtı \( a = 6 \) cm, Yanal ayrıt \( l = 5 \) cm.
- 📌 Öncelikle taban alanını hesaplayalım. Taban bir kare olduğu için alanı \( a^2 \) formülüyle bulunur.
- Taban Alanı \( = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \).
- Şimdi piramidin cisim yüksekliğini (\( h \)) bulmamız gerekiyor. Bunun için Pisagor teoremini kullanacağız.
- Tabanın köşegen uzunluğunu bulalım: Bir kenarı \( 6 \) cm olan karenin köşegeni \( 6\sqrt{2} \) cm'dir.
- Piramidin yüksekliği, tabanın merkezine iner. Taban köşegeninin yarısı, yüksekliğin tabandaki dik üçgeninin bir kenarını oluşturur.
- Taban köşegeninin yarısı \( = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) cm.
- ✅ Yanal ayrıt, yükseklik ve taban köşegeninin yarısı arasında bir dik üçgen oluşur.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( l^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2 \)
- \( 5^2 = h^2 + (9 \times 2) \)
- \( 25 = h^2 + 18 \)
- \( h^2 = 25 - 18 \)
- \( h^2 = 7 \)
- \( h = \sqrt{7} \) cm.
- Şimdi hacim formülünü uygulayalım: \[ \text{Hacim} = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \] \[ \text{Hacim} = \frac{1}{3} \times 36 \times \sqrt{7} \] \[ \text{Hacim} = 12\sqrt{7} \text{ cm}^3 \]
- Buna göre, kare piramidin hacmi \( 12\sqrt{7} \text{ cm}^3 \)tür.
Örnek 7:
Yarıçapı \( 4 \) cm olan silindirik bir su deposunda bir miktar su bulunmaktadır. Depoya \( 96\pi \text{ cm}^3 \) hacminde su eklendiğinde su seviyesi kaç cm yükselir?
Çözüm:
- 💡 Silindirin Hacmi: Bir silindirin hacmi, taban alanı (\( \pi r^2 \)) ile yüksekliğin (\( h \)) çarpımına eşittir: \( V = \pi r^2 h \).
- 👉 Verilenler: Yarıçap \( r = 4 \) cm, Eklenen su hacmi \( \Delta V = 96\pi \text{ cm}^3 \).
- 📌 Eklenen suyun hacmi, silindirik kapta belirli bir yüksekliğe kadar yer kaplayacaktır. Bu yükseklik, su seviyesindeki yükselme miktarıdır.
- Eklenen suyun hacmini, taban alanı ve su seviyesindeki yükselme miktarı (\( \Delta h \)) ile ilişkilendirelim.
- Eklenen Hacim \( = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükselme Miktarı} \)
- \( \Delta V = \pi r^2 \times \Delta h \)
- ✅ Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım:
- \( 96\pi = \pi \times (4)^2 \times \Delta h \)
- \( 96\pi = \pi \times 16 \times \Delta h \)
- Her iki tarafı \( \pi \) ile bölelim:
- \( 96 = 16 \times \Delta h \)
- \( \Delta h = \frac{96}{16} \)
- \( \Delta h = 6 \) cm.
- Buna göre, su seviyesi \( 6 \) cm yükselir.
Örnek 8:
Güneşli bir günde, boyu \( 1.5 \) metre olan bir öğrencinin gölge boyu \( 2 \) metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, bu öğrencinin yakınındaki bir binanın gölge boyu \( 16 \) metre olarak ölçüldüğüne göre, binanın yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
- 💡 Benzerlik İlkesi: Aynı anda, Güneş'in ışınları paralel geldiği için cisimler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur. Bu durumda, cisimlerin boylarının oranları, gölge boylarının oranlarına eşittir.
- 👉 Verilenler:
- Öğrencinin boyu \( h_1 = 1.5 \) m
- Öğrencinin gölge boyu \( g_1 = 2 \) m
- Binanın gölge boyu \( g_2 = 16 \) m
- 📌 Binanın yüksekliğine \( h_2 \) diyelim. Benzerlik ilkesini kullanarak bir oran kurabiliriz.
- \( \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölge Boyu}} \)
- ✅ Değerleri yerine koyalım: \[ \frac{h_1}{g_1} = \frac{h_2}{g_2} \] \[ \frac{1.5}{2} = \frac{h_2}{16} \]
- Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 1.5 \times 16 = 2 \times h_2 \)
- \( 24 = 2 \times h_2 \)
- \( h_2 = \frac{24}{2} \)
- \( h_2 = 12 \) metre.
- Buna göre, binanın yüksekliği \( 12 \) metredir. Bu yöntem, ulaşılması zor nesnelerin yüksekliğini bulmak için günlük hayatta sıkça kullanılır! 📏
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-yukseklik/sorular