Yükseklik Ders Notu

Yükseklik, geometride bir şeklin bir köşesinden karşı kenara veya uzantısına indirilen dik doğru parçasına denir. Bu doğru parçası, indiği kenara dik (90 derecelik açı) bir şekilde ulaşır.

Üçgende Yükseklik

Bir üçgende, bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Her üçgende üç adet yükseklik bulunur ve bu yükseklikler genellikle 'h' harfi ile gösterilir.

• Yükseklik, indiği kenara diktir.
• Yükseklikler, üçgenin türüne göre farklı yerlerde bulunabilir.

Dar Açılı Üçgende Yükseklik 📐

Tüm iç açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir. Dar açılı bir üçgende, tüm yükseklikler üçgenin iç bölgesinde kesişir.

Örnek:

Bir ABC dar açılı üçgeninde A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik [AD], B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklik [BE] ve C köşesinden AB kenarına indirilen yükseklik [CF] olsun. Bu üç yükseklik, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir.

Dik Açılı Üçgende Yükseklik 📏

Bir iç açısı 90 derece olan üçgenlere dik açılı üçgen denir. Dik açılı bir üçgende:

• Dik açının olduğu köşeden hipotenüse indirilen yükseklik üçgenin içindedir.
• Diğer iki yükseklik, dik açıyı oluşturan kenarların kendisidir. Yani, dik kenarlar birbirlerinin yüksekliğidir.
• Tüm yükseklikler, dik açının olduğu köşede kesişir.

Örnek:

ABC dik üçgeninde A açısı 90 derece olsun. Bu durumda AB kenarı, C köşesinden inen yüksekliğin kendisidir. AC kenarı ise B köşesinden inen yüksekliğin kendisidir. A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik ise [AH] olsun. Bu üç yükseklik (AB, AC ve AH), A köşesinde kesişir.

Geniş Açılı Üçgende Yükseklik 🔺

Bir iç açısı 90 dereceden büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. Geniş açılı bir üçgende:

• Geniş açının olduğu köşeden karşı kenara indirilen yükseklik üçgenin içindedir.
• Diğer iki köşeden indirilen yükseklikler ise üçgenin dış bölgesindedir ve karşı kenarların uzantılarına iner.
• Tüm yüksekliklerin uzantıları, üçgenin dış bölgesinde bir noktada kesişir.

Örnek:

ABC geniş açılı üçgeninde B açısı geniş açı olsun. B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklik üçgenin içindedir. Ancak A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik, BC kenarının uzantısına düşer ve üçgenin dışındadır. Aynı şekilde C köşesinden AB kenarına indirilen yükseklik de AB kenarının uzantısına düşer ve üçgenin dışındadır.

Diklik Merkezi (Ortosantr)

Bir üçgenin üç yüksekliğinin (veya uzantılarının) kesiştiği noktaya diklik merkezi veya ortosantr denir.

• Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin içindedir.
• Dik açılı üçgenlerde diklik merkezi, dik açının olduğu köşedir.
• Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır.

Üçgenin Alanı ve Yükseklik Formülü

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı ile bulunur.

Alan = \( \frac{(\text{taban uzunluğu}) \times (\text{o tabana ait yükseklik}) }{2} \)

Kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait yükseklikler sırasıyla \( h_a \), \( h_b \), \( h_c \) olan bir ABC üçgeninde alan aşağıdaki gibi ifade edilir:

\[ \text{Alan(ABC)} = \frac{a \times h_a}{2} = \frac{b \times h_b}{2} = \frac{c \times h_c}{2} \]

Bu formül, üçgenin türü ne olursa olsun geçerlidir. Geniş açılı üçgenlerde, dışarıda kalan yükseklikler de bu formülde kullanılırken, taban olarak her zaman üçgenin kenar uzunluğu alınır, uzantısı değil.

Örnek Uygulama

Bir ABC üçgeninde BC kenarının uzunluğu 10 cm ve bu kenara ait yükseklik 6 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \)dir?

Çözüm:

Üçgenin alan formülünü kullanalım:

\[ \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \]

Verilen değerleri yerine yazarsak:

\[ \text{Alan} = \frac{10 \times 6}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{60}{2} \] \[ \text{Alan} = 30 \text{ cm}^2 \]

Üçgenin alanı 30 \( \text{cm}^2 \)dir.