💡 10. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) olmalıdır. 📌 Bu bilgiyi kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz.

• Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \)
• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) formülünü kullanırız.
• \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \)

Sonuç olarak, \( \angle C \) açısı \( 60^\circ \) olur. ✅

Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor teoremini kullanabiliriz. Pisagor teoremine göre, dik üçgende en uzun kenarın (hipotenüs) karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir. 💡 Kenar uzunlukları \( a = 8 \) cm, \( b = 15 \) cm ve \( c = 17 \) cm olsun. En uzun kenar \( c = 17 \) cm'dir.

• Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Kenar uzunluklarını yerine koyalım: \( 8^2 + 15^2 \)
• \( 8^2 = 64 \)
• \( 15^2 = 225 \)
• \( 64 + 225 = 289 \)
• Şimdi en uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( 17^2 \)
• \( 17^2 = 289 \)

\( 8^2 + 15^2 = 289 \) ve \( 17^2 = 289 \) olduğundan, \( 8^2 + 15^2 = 17^2 \) eşitliği sağlanır. Bu nedenle, bu üçgen bir dik üçgendir. 👉

Bu soruda, verilen mesafeleri bir üçgenin kenar uzunlukları olarak düşünebiliriz. Kenar uzunlukları \( a = 50 \) m, \( b = 120 \) m ve \( c = 130 \) m'dir. Üçgenin çeşidini belirlemek için Pisagor teoremini kontrol edeceğiz. 🧐

• En uzun kenar \( c = 130 \) m'dir.
• Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 50^2 + 120^2 \) işlemini yapalım.
• \( 50^2 = 2500 \)
• \( 120^2 = 14400 \)
• \( 2500 + 14400 = 16900 \)
• Şimdi en uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( 130^2 \)
• \( 130^2 = 16900 \)

\( 50^2 + 120^2 = 130^2 \) eşitliği sağlandığı için, bu üçgen bir dik üçgendir. ✅

Bu problemde, iki duvar ve onları birleştiren ip, bir dik üçgenin kenarlarını oluşturur. Duvarlar dik kenarları, ip ise hipotenüsü temsil eder. 📐

• Dik kenarlar: \( a = 3 \) metre, \( b = 4 \) metre
• Hipotenüs (ipin uzunluğu): \( c \)
• Pisagor teoremini kullanırız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
• \( 9 + 16 = c^2 \)
• \( 25 = c^2 \)
• \( c = \sqrt{25} \)
• \( c = 5 \) metre

Bu nedenle, iki duvarın uç noktalarını birleştiren ipin uzunluğu 5 metre olmalıdır. Bu, inşaatın dik açıyla yapılmasını garantiler. 👍

İkizkenar üçgende, tepe açısının karşısındaki kenarlara eşit olan iki kenarın arasındaki açı tepe açısıdır. Taban açıları ise eşit kenarların karşısındaki açılardır ve birbirine eşittir. 📌

• Tepe açısı: \( 40^\circ \)
• Taban açıları birbirine eşittir, bu açılara \( x \) diyelim.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
• \( 40^\circ + x + x = 180^\circ \)
• \( 40^\circ + 2x = 180^\circ \)
• \( 2x = 180^\circ - 40^\circ \)
• \( 2x = 140^\circ \)
• \( x = \frac{140^\circ}{2} \)
• \( x = 70^\circ \)

Bu ikizkenar üçgenin taban açılarından her biri 70 derecedir. ✅

\( AB = AC \) olması, ABC üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir. İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. Bu durumda \( \angle ABC = \angle ACB \) olur. 💡

• Tepe açısı \( \angle BAC = 100^\circ \)
• Taban açıları \( \angle ABC \) ve \( \angle ACB \) birbirine eşittir. Bu açılara \( x \) diyelim.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
• \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \)
• \( 100^\circ + x + x = 180^\circ \)
• \( 100^\circ + 2x = 180^\circ \)
• \( 2x = 180^\circ - 100^\circ \)
• \( 2x = 80^\circ \)
• \( x = \frac{80^\circ}{2} \)
• \( x = 40^\circ \)

Dolayısıyla, \( \angle ABC = 40^\circ \) ve \( \angle ACB = 40^\circ \) olur. 👉

Bu soruda, şehirler arasındaki mesafeler bir üçgenin kenar uzunluklarını temsil eder. Kenar uzunlukları \( a = 6 \) km, \( b = 8 \) km ve \( c = 10 \) km'dir. Üçgenin çeşidini belirlemek için Pisagor teoremini kontrol etmeliyiz. 🧐

• En uzun kenar \( c = 10 \) km'dir.
• Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Kenar uzunluklarının karelerini hesaplayalım: \( 6^2 \) ve \( 8^2 \).
• \( 6^2 = 36 \)
• \( 8^2 = 64 \)
• \( 36 + 64 = 100 \)
• Şimdi en uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( 10^2 \).
• \( 10^2 = 100 \)

\( 6^2 + 8^2 = 100 \) ve \( 10^2 = 100 \) olduğundan, \( 6^2 + 8^2 = 10^2 \) eşitliği sağlanır. Bu, ABC üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir. B açısı dik açıdır. ✅

Bu problemde, tepenin yüksekliği, eğimli yol ve yatay düzlemde kapladığı alan bir dik üçgen oluşturur. Eğimli yol hipotenüs, tepenin yüksekliği bir dik kenar ve yatay düzlemde kapladığı alan ise diğer dik kenardır. 📐

• Hipotenüs (eğimli yol): \( c = 50 \) metre
• Bir dik kenar (tepenin yüksekliği): \( a = 30 \) metre
• Diğer dik kenar (yatay düzlemde kapladığı alan): \( b \)
• Pisagor teoremini kullanırız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 30^2 + b^2 = 50^2 \)
• \( 900 + b^2 = 2500 \)
• \( b^2 = 2500 - 900 \)
• \( b^2 = 1600 \)
• \( b = \sqrt{1600} \)
• \( b = 40 \) metre

Bisikletlinin tırmanacağı eğimli yolun yatay düzlemde kapladığı alan 40 metredir. Bu, yolun eğimini hesaplamak için de kullanılabilir. 👍