💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Kenar Ortay Çözümlü Örnekler

Kenarortay tanımına göre, bir kenarortay, üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.

• Bu soruda, AD doğru parçası bir kenarortaydır.
• Kenarortay, BC kenarını ortadan ikiye böler.
• Yani, D noktası BC kenarının orta noktasıdır.
• Bu durumda, \( BD = DC \) olur.
• BC kenarının uzunluğu \( 10 \) cm olarak verilmiştir.
• O halde, \( BD = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm'dir.

✅ Cevap: \( BD = 5 \) cm.

Kenarortay, karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

• EG, DEF üçgeninde E köşesinden çizilen kenarortaydır.
• Bu kenarortay, DF kenarını G noktasında ortalar.
• Dolayısıyla, \( DG = GF \) olur.
• DF kenarının uzunluğu \( 12 \) cm'dir.
• Bu durumda, \( DG = \frac{DF}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm'dir.

💡 Unutmayın: Kenarortay her zaman kenarın orta noktasını birleştirir.

Kenarortayın tanımını ve özelliğini hatırlayalım.

• Bir kenarortay, üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
• Soruda G köşesinden çizilen kenarortaydan bahsediliyor ve bu kenarortayın uzunluğu \( v_g = 8 \) cm'dir.
• Bu kenarortayın indiği kenar HI'dır ve \( HI = 6 \) cm'dir.
• Kenarortay, HI kenarını ortadan ikiye böler. Yani, kenarortayın ayırdığı parçalar \( HG \) ve \( GI \) değildir, kenarortayın indiği kenarın parçalarıdır.
• Kenarortayın indiği kenar HI olduğundan, bu kenarın orta noktasına H noktasından çizilen kenarortay, HI kenarını iki eşit parçaya böler.
• Bu parçaların her birinin uzunluğu \( \frac{HI}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm'dir.
• Dolayısıyla, kenarortayın ayırdığı bu iki parçanın uzunlukları toplamı \( 3 + 3 = 6 \) cm'dir.

📌 Soruda kenarortayın uzunluğu \( v_g \) verilmiş olsa da, bu bilgi kenarortayın ayırdığı kenarın uzunluğunu bulmak için doğrudan kullanılmaz. Önemli olan kenarortayın indiği kenarın uzunluğudur.

Kenarortayın temel özelliğini kullanacağız.

• KM, JKL üçgeninde K köşesinden çizilen bir kenarortaydır.
• Kenarortay, karşı kenar olan JL'yi ortadan ikiye böler. Bu bilgi soruda KM'nin JL'yi kestiği M noktası ile ilgilidir. Ancak soruda KM'nin kenarortay olduğu belirtilmiş, bu da JL'yi ortalayacağı anlamına gelir.
• Yani, \( JM = ML \) olmalıdır.
• Soruda \( JL = 14 \) cm olarak verilmiş.
• Bu durumda, \( JM = ML = \frac{JL}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) cm'dir.
• Soruda \( KM = 7 \) cm olarak verilmiş. Bu bilgi, K'den çizilen kenarortayın uzunluğudur ve \( LM \) uzunluğunu bulmak için doğrudan gerekli değildir.
• Bizden \( LM \) uzunluğu isteniyor.
• Yukarıda bulduğumuz gibi \( LM = 7 \) cm'dir.

✅ Cevap: \( LM = 7 \) cm.

Bu bir dik üçgen sorusu olabilir, ancak kenarortay bilgisini kullanarak çözebiliriz.

• A noktasından BC kenarının orta noktasına çizilen doğru parçası bir kenarortaydır.
• Bu kenarortayın uzunluğunu bulmak için Apollonius Teoremi kullanılabilir, ancak 10. sınıf müfredatında bu teorem genellikle işlenmez. Bunun yerine, dik üçgen özelliğini kontrol edelim veya genel bir kenarortay formülü (eğer müfredatta varsa) kullanılabilir.
• Kenar uzunlukları \( 12, 16, 20 \) dikkat çekicidir. \( 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \) ve \( 20^2 = 400 \).
• Bu durumda, \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) eşitliği sağlanır. Bu, ABC üçgeninin A açısının dik açı olduğu anlamına gelir.
• Dik üçgende, dik köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
• Burada dik açı A'da olduğundan, BC kenarı hipotenüstür.
• BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortayın uzunluğu \( v_a \) olsun.
• \( v_a = \frac{BC}{2} \) olmalıdır.
• Ancak soruda A'dan BC'nin orta noktasına çizilen kenarortay soruluyor. BC kenarının uzunluğu \( 16 \) metre.
• A'dan BC'nin orta noktasına çizilen kenarortay \( v_a \) ise, \( v_a = \frac{AC}{2} \) olmalıdır eğer A dik açı ise.
• Dik üçgende, dik köşeden çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Burada dik açı A'da değil, C'de olsaydı \( AB \) hipotenüs olurdu.
• ABC üçgeninde \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) olduğu için, dik açı B'dedir.
• Yani, \( AB = 12 \), \( BC = 16 \) dik kenarlar ve \( AC = 20 \) hipotenüstür.
• A noktasından BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortay soruluyor.
• Bu kenarortayın uzunluğunu bulmak için Apollonius Teoremi'nin \( v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \) formülü kullanılır. Burada \( a = BC = 16 \), \( b = AC = 20 \), \( c = AB = 12 \).
• \( v_a^2 = \frac{2(20^2) + 2(12^2) - 16^2}{4} = \frac{2(400) + 2(144) - 256}{4} = \frac{800 + 288 - 256}{4} = \frac{1088 - 256}{4} = \frac{832}{4} = 208 \).
• \( v_a = \sqrt{208} = \sqrt{16 \times 13} = 4\sqrt{13} \) metre.

💡 Dik üçgenlerde kenarortayların özel durumları vardır. Ancak genel bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için Apollonius teoremi gereklidir. Eğer bu teorem müfredatta yoksa, sorunun bu şekilde sorulması beklenmez veya farklı bir ipucu verilir. 10. sınıf müfredatında genellikle dik üçgenlerdeki kenarortay özellikleri veya temel kenarortay tanımları sorulur. Bu soruda verilen kenar uzunlukları dik üçgen olduğunu gösteriyor ve dik açı B'dedir. A'dan BC'nin ortasına çizilen kenarortay \( v_a \) ise, \( v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \) formülü ile bulunur.

Bu soruda da kenarortay kavramını kullanacağız.

• Havuzun kenar uzunlukları \( 6, 8, 10 \) metre.
• Bu kenar uzunlukları \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) ve \( 10^2 = 100 \) olduğundan, bu bir dik üçgendir.
• Dik açı, \( 10 \) metrelik kenarın karşısındaki köşededir. Yani \( 10 \) metrelik kenar hipotenüstür.
• Yürüyüş yolu, \( 10 \) metrelik kenarın orta noktası ile karşı köşeyi birleştiriyor.
• Dik üçgenlerde, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
• Hipotenüs \( 10 \) metre olduğuna göre, yürüyüş yolunun uzunluğu \( \frac{10}{2} = 5 \) metre olacaktır.

💡 Günlük hayatta bu tür geometrik şekillerin ortalama noktalarını veya mesafeleri belirlemek için kenarortay bilgisi kullanılabilir.

Kenarortayların kesim noktası olan ağırlık merkezi, her bir kenarortayı \( 2:1 \) oranında böler.

• Ağırlık merkezi G olsun.
• XC kenarortayı üzerinde: \( XG : GC = 2:1 \).
• XC'nin tamamı \( 7 \) cm.
• \( XG = \frac{2}{3} \times XC = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3} \) cm.
• \( GC = \frac{1}{3} \times XC = \frac{1}{3} \times 7 = \frac{7}{3} \) cm.
• YD kenarortayı üzerinde: \( YG : GD = 2:1 \).
• YD'nin tamamı \( 9 \) cm.
• \( YG = \frac{2}{3} \times YD = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \) cm.
• \( GD = \frac{1}{3} \times YD = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \) cm.
• ZE kenarortayı üzerinde: \( ZG : GE = 2:1 \).
• ZE'nin tamamı \( 12 \) cm.
• \( ZG = \frac{2}{3} \times ZE = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \) cm.
• \( GE = \frac{1}{3} \times ZE = \frac{1}{3} \times 12 = 4 \) cm.

👉 Ağırlık merkezi (G), her kenarortayı köşeye yakın olan kısmı \( 2 \) birim, kenara yakın olan kısmı \( 1 \) birim olacak şekilde böler.

Soruyu dikkatlice okuyalım ve kenarortayın tanımını uygulayalım.

• PQR üçgeninde, P köşesinden çizilen kenarortay, karşı kenar olan QR'yi ortadan ikiye bölmelidir.
• Soruda, P köşesinden çizilen kenarortayın PR kenarını kestiği söyleniyor. Bu bir hata. Kenarortay karşı kenarı keser.
• Sorunun doğru anlaşılması için, P köşesinden çizilen kenarortayın QR kenarını S noktasında kestiği varsayılmalıdır.
• Eğer PS kenarortay ise, S noktası QR'nin orta noktasıdır.
• Bu durumda \( QS = SR \) olmalıdır.
• Ancak soruda \( QS = 10 \) cm ve \( SR = 5 \) cm verilmiş. Bu, S noktasının QR'nin orta noktası olmadığını gösterir.
• Dolayısıyla, PS doğru parçası bir kenarortay değildir.
• Eğer soru "P köşesinden çizilen bir doğru parçası QR kenarını S noktasında kesmektedir. Eğer \( QS = 10 \) cm ve \( SR = 5 \) cm ise, \( PS \) uzunluğu kaç cm'dir?" şeklinde olsaydı, \( PS \) uzunluğunu bulmak için ek bilgi (örneğin PQR üçgeninin kenar uzunlukları veya açıları) gerekirdi.
• Sorunun orijinal haliyle, PS'nin kenarortay olduğu varsayımıyla çelişki bulunmaktadır.
• Eğer soru şu şekilde olsaydı: "Bir PQR üçgeninde, P köşesinden çizilen kenarortay QR kenarını S noktasında kesmektedir. Eğer \( QR = 15 \) cm ise, \( QS \) uzunluğu kaç cm'dir?" O zaman cevap \( QS = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm olurdu.
• Mevcut soruda verilen bilgilerle tutarlı bir çözüm üretilememektedir.

📌 Matematik problemlerinde verilen bilgilerin birbiriyle tutarlı olması çok önemlidir. Bu soruda bir tutarsızlık bulunmaktadır.

Bu soruda da kenarortay özelliğini kullanacağız.

• Masa örtüsünün kenar uzunlukları \( 120, 160, 200 \) cm.
• Bu kenar uzunlukları \( 120^2 + 160^2 = 14400 + 25600 = 40000 \) ve \( 200^2 = 40000 \) olduğundan, bu bir dik üçgendir.
• Dik açı, \( 200 \) cm'lik kenarın karşısındaki köşededir. Yani \( 200 \) cm'lik kenar hipotenüstür.
• Dikiş hattı, \( 160 \) cm'lik kenarın orta noktası ile karşıdaki köşeyi birleştiriyor.
• Bu durumda, \( 160 \) cm'lik kenar bir dik kenardır.
• Karşıdaki köşe, \( 120 \) cm'lik dik kenarın ucundaki köşedir.
• Dik üçgenlerde, dik kenara ait kenarortayın uzunluğunu bulmak için Apollonius Teoremi'nin \( v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \) formülü kullanılır.
• Burada \( a = 160 \) (kenarortayın indiği kenar), \( b = 200 \) (hipotenüs), \( c = 120 \) (diğer dik kenar).
• \( v_a^2 = \frac{2(200^2) + 2(120^2) - 160^2}{4} = \frac{2(40000) + 2(14400) - 25600}{4} = \frac{80000 + 28800 - 25600}{4} = \frac{108800 - 25600}{4} = \frac{83200}{4} = 20800 \).
• \( v_a = \sqrt{20800} = \sqrt{100 \times 208} = 10\sqrt{208} = 10\sqrt{16 \times 13} = 10 \times 4\sqrt{13} = 40\sqrt{13} \) cm.

💡 Bu tür problemler, geometrinin günlük hayattaki pratik uygulamalarını gösterir. Kenarortaylar, alanları bölmek veya mesafeleri hesaplamak için kullanılabilir.