Üçgende Kenar Ortay Ders Notu

Üçgende Kenar Ortaylar

Bir üçgende kenar ortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Her üçgende üç tane kenar ortay bulunur ve bu kenar ortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu kesişme noktasına "ağırlık merkezi" veya "kenar ortayların kesim noktası" denir. Kenar ortaylar, üçgeni iki eş alanlı bölgeye ayırır.

Kenar Ortayların Özellikleri

• Her üçgenin 3 kenar ortayı vardır.
• Kenar ortaylar üçgenin içinde kesişir.
• Kenar ortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi (G noktası) denir.
• Kenar ortaylar, üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır.

Kenar Ortay Uzunlukları (Kenarortay Teoremi)

Bir üçgende kenar ortayların uzunlukları ile kenar uzunlukları arasında bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi Kenarortay Teoremi ile ifade edebiliriz. Bir \( ABC \) üçgeninde, \( a, b, c \) kenarları sırasıyla \( A, B, C \) köşelerinin karşısındaki kenarlar olsun. \( v_a, v_b, v_c \) ise bu kenarlara ait kenar ortay uzunlukları olsun.

Ağırlık merkezi \( G \) noktası, kenar ortayları \( 2:1 \) oranında böler. Yani, köşeye yakın olan kısım, kenara yakın olan kısmın iki katıdır.

Örneğin, \( A \) köşesinden çizilen \( v_a \) kenar ortayının ağırlık merkezi \( G \) tarafından bölünen uzunlukları \( |AG| \) ve \( |GD| \) ise, \( |AG| = 2|GD| \) olur. Toplam kenar ortay uzunluğu \( v_a = |AG| + |GD| \) olduğundan, \( v_a = 3|GD| \) ve \( |GD| = \frac{v_a}{3} \), \( |AG| = \frac{2v_a}{3} \) olur.

Kenarortay Teoremi Formülü

Bir \( ABC \) üçgeninde \( a \) kenarına ait kenar ortay \( v_a \) ise, kenar ortay teoremi şu şekildedir:

\[ v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \]

Benzer şekilde \( b \) ve \( c \) kenarlarına ait kenar ortaylar için de formüller yazılabilir:

\[ v_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} \] \[ v_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

Çözümlü Örnek 1

Bir \( ABC \) üçgeninde \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm ve \( c = 10 \) cm'dir. \( a \) kenarına ait kenar ortayın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Kenarortay formülünü kullanalım:

\[ v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{2(8^2) + 2(10^2) - 6^2}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{2(64) + 2(100) - 36}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{128 + 200 - 36}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{328 - 36}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{292}{4} \] \[ v_a^2 = 73 \] \[ v_a = \sqrt{73} \text{ cm} \]

Çözümlü Örnek 2

Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = c = 7 \) cm, \( |AC| = b = 9 \) cm ve \( |BC| = a = 5 \) cm'dir. \( A \) köşesinden çizilen kenar ortayın ağırlık merkezini \( G \) noktası olarak alalım. \( |AG| \) uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle \( a \) kenarına ait kenar ortay uzunluğunu \( v_a \) bulalım:

\[ v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{2(9^2) + 2(7^2) - 5^2}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{2(81) + 2(49) - 25}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{162 + 98 - 25}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{260 - 25}{4} \] \[ v_a^2 = \frac{235}{4} \] \[ v_a = \sqrt{\frac{235}{4}} = \frac{\sqrt{235}}{2} \text{ cm} \]

Ağırlık merkezi \( G \) noktası kenar ortayı \( 2:1 \) oranında böldüğünden, \( |AG| = \frac{2}{3} v_a \) olur.

\[ |AG| = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{235}}{2} \] \[ |AG| = \frac{\sqrt{235}}{3} \text{ cm} \]

Özel Üçgenlerde Kenar Ortaylar

• Eşkenar Üçgen: Eşkenar üçgende kenar ortaylar aynı zamanda açıortay ve yüksekliklerdir. Üç kenar ortay da birbirine eşittir ve hepsi ağırlık merkezinde kesişir.
• İkizkenar Üçgen: İkizkenar üçgende, tepe açısından indirilen kenar ortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır. Taban kenarına ait kenar ortay, diğer kenar ortaylardan farklıdır.
• Dik Üçgen: Dik üçgende, hipotenüse ait kenar ortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. Yani, dik köşeden hipotenüsün ortasına çizilen kenar ortay, hipotenüsün kendisiyle aynı uzunluktadır. Eğer hipotenüs \( c \) ise, hipotenüse ait kenar ortay \( v_c = \frac{c}{2} \) olur.

Çözümlü Örnek 3 (Dik Üçgen)

Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsüne ait kenar ortayın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ c^2 = 36 + 64 \] \[ c^2 = 100 \] \[ c = 10 \text{ cm} \]

Dik üçgende hipotenüse ait kenar ortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir:

\[ v_c = \frac{c}{2} \] \[ v_c = \frac{10}{2} \] \[ v_c = 5 \text{ cm} \]