💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler

• 👉 Öncelikle, \( 1230^\circ \) açısını \( 360^\circ \)'ye bölelim: \[ 1230 \div 360 = 3 \text{ kalan } 150 \]
• ✅ Bu işlemde elde ettiğimiz kalan, açının esas ölçüsünü verir.
• Sonuç olarak, \( 1230^\circ \) açısının esas ölçüsü \( 150^\circ \) derecedir.

Matematiksel olarak: \( 1230^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 150^\circ \)

• 👉 Verilen nokta \( P \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \)'dir.
• ✅ Noktanın apsisi \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan, \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olur.
• ✅ Noktanın ordinatı \( y = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) olur.

Bu durumda, \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) ve \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir.

• 👉 \( 210^\circ \) açısı, \( 180^\circ \) ile \( 270^\circ \) arasında yer alır. Bu da 3. bölge demektir.
• 3. Bölgede:
  • ✅ Sinüs değeri negatiftir (y ekseni negatif).
  • ✅ Kosinüs değeri negatiftir (x ekseni negatif).
  • ✅ Tanjant değeri \( \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \) iki negatif sayının bölümü olduğu için pozitiftir.
  • ✅ Kotanjant değeri \( \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \) iki negatif sayının bölümü olduğu için pozitiftir.

Sonuç olarak, \( \sin 210^\circ < 0 \), \( \cos 210^\circ < 0 \), \( \tan 210^\circ > 0 \) ve \( \cot 210^\circ > 0 \).

• 👉 Özel açı değerlerini hatırlayalım:
  • \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
  • \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
  • \( \tan 45^\circ = 1 \)
• ✅ Şimdi bu değerleri verilen ifadede yerine yazalım: \[ \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 \]
• İfadeyi hesaplayalım: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \]

İfadenin değeri \( 0 \)'dır.

• 👉 Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Yani \( \tan A = \frac{\text{A açısının karşısı}}{\text{A açısının komşusu}} \).
• Verilen dik üçgende:
  • A açısının karşısındaki kenar \( |BC| = 4 \) birimdir.
  • A açısının komşusundaki kenar \( |AC| = 3 \) birimdir.
• ✅ Bu durumda, \( \tan A \) değerini hesaplayalım: \[ \tan A = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{4}{3} \]

Sonuç olarak, \( \tan A = \frac{4}{3} \)'tür.

• 👉 Başlangıç noktası \( (1, 0) \)'dır. Robot \( 135^\circ \) döndüğünde, açısı \( \theta = 135^\circ \) olur.
• Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) ile verilir.
• Öncelikle \( \cos 135^\circ \) ve \( \sin 135^\circ \) değerlerini bulalım. \( 135^\circ \) açısı 2. bölgededir.
  • ✅ \( \cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) (2. bölgede kosinüs negatiftir.)
  • ✅ \( \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) (2. bölgede sinüs pozitiftir.)
• Dolayısıyla, robotun ulaştığı noktanın koordinatları \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \) olur.
• Bu noktadaki \( \sin \) değeri \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \cos \) değeri \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)'dir.

• 👉 Fenerin yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır: \( \text{karşı kenar} = 60 \) metre.
• 👉 Geminin fenerin tabanına uzaklığı, dik üçgenin diğer dik kenarıdır: \( \text{komşu kenar} = 60\sqrt{3} \) metre.
• ✅ Bakış açısı (\( \theta \)), fenerin tepesinden gemiye çizilen çizgi ile yatay çizgi arasındaki açıdır. Bu açı, fenerin tabanındaki açı ile aynıdır (iç ters açılar).
• Tanjant değeri, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır: \[ \tan \theta = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ \tan \theta = \frac{60}{60\sqrt{3}} \]
• İfadeyi sadeleştirelim: \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
• Paydayı rasyonel yapalım: \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Gözlemcinin gemiye olan bakış açısının tanjant değeri \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)'tür.

• 👉 Pay kısmını inceleyelim:
  • \( \sin(90^\circ - x) = \cos x \) (1. bölge, isim değiştirir)
  • \( \cos(180^\circ + x) = -\cos x \) (3. bölge, kosinüs negatif, isim değiştirmez)
  • Pay: \( \cos x + (-\cos x) = \cos x - \cos x = 0 \)
• 👉 Payda kısmını inceleyelim:
  • \( \tan(270^\circ - x) = \cot x \) (3. bölge, tanjant pozitif, isim değiştirir)
• ✅ Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \[ \frac{\sin(90^\circ - x) + \cos(180^\circ + x)}{\tan(270^\circ - x)} = \frac{0}{\cot x} \]
• Bir kesrin payı \( 0 \) ise ve paydası sıfırdan farklı ise, kesrin değeri \( 0 \) olur. (Burada \( \cot x \ne 0 \) varsayılır.)

İfadenin en sade hali \( 0 \)'dır.