🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde \(B\) açısının ölçüsü \(90^\circ\) dir.
\(|AB| = 6\) birim ve \(|BC| = 8\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs değeri (\(\sin(A)\)) ile \(C\) açısının kosinüs değerinin (\(\cos(C)\)) toplamını bulunuz. 📐
\(|AB| = 6\) birim ve \(|BC| = 8\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs değeri (\(\sin(A)\)) ile \(C\) açısının kosinüs değerinin (\(\cos(C)\)) toplamını bulunuz. 📐
Çözüm:
Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:
✅ Cevap: \(\frac{8}{5}\) (veya \(1.6\))
- 1. Adım (Hipotenüsün Bulunması): ABC bir dik üçgen olduğundan Pisagor teoremini uygularız.
\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] Buradan hipotenüs uzunluğu \(|AC| = 10\) birim olarak bulunur. (Bu üçgen \(6 - 8 - 10\) özel dik üçgenidir.) - 2. Adım (\(\sin(A)\) Değerinin Bulunması): Sinüs, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
\(A\) açısının karşı dik kenarı \(|BC| = 8\) birimdir.
\[ \sin(A) = \frac{8}{10} = 0.8 \] - 3. Adım (\(\cos(C)\) Değerinin Bulunması): Kosinüs, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
\(C\) açısının komşu dik kenarı \(|BC| = 8\) birimdir.
\[ \cos(C) = \frac{8}{10} = 0.8 \] - 4. Adım (Toplamın Hesaplanması):
\[ \sin(A) + \cos(C) = 0.8 + 0.8 = 1.6 \] veya rasyonel olarak: \[ \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5} \]
✅ Cevap: \(\frac{8}{5}\) (veya \(1.6\))
Örnek 2:
Bir \(x\) dar açısı için \(\tan(x) = \frac{5}{12}\) olduğuna göre,
\[ \sin(x) + \cos(x) \]
ifadesinin değerini bulunuz. 🔍
\[ \sin(x) + \cos(x) \]
ifadesinin değerini bulunuz. 🔍
Çözüm:
Trigonometrik oranlardan biri verildiğinde diğerlerini bulmak için bir dik üçgen çizeriz:
✅ Cevap: \(\frac{17}{13}\)
- 1. Adım (Dik Üçgeni Oluşturma): Bir açısı \(x\) olan dik üçgen çizelim.
\(\tan(x) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}\) formülünden:
Karşı dik kenar \(= 5\) birim,
Komşu dik kenar \(= 12\) birim alınır. - 2. Adım (Hipotenüsü Hesaplama): Pisagor teoreminden hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\[ \text{Hipotenüs}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] Buradan hipotenüs \(= 13\) birim bulunur. (Bu üçgen \(5 - 12 - 13\) özel dik üçgenidir.) - 3. Adım (\(\sin(x)\) ve \(\cos(x)\) Değerlerini Bulma):
\[ \sin(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \] \[ \cos(x) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13} \] - 4. Adım (İstenen Toplamı Hesaplama):
\[ \sin(x) + \cos(x) = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{17}{13} \]
✅ Cevap: \(\frac{17}{13}\)
Örnek 3:
Özel dar açıların trigonometrik oranlarını kullanarak aşağıda verilen işlemin sonucunu bulunuz:
\[ A = \sin(30^\circ) \times \cos(60^\circ) + \tan(45^\circ) \]
\[ A = \sin(30^\circ) \times \cos(60^\circ) + \tan(45^\circ) \]
Çözüm:
Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım ve yerine yazalım:
✅ Cevap: \(\frac{5}{4}\)
- 1. Adım (Değerleri Belirleme):
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)
\(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)
\(\tan(45^\circ) = 1\) - 2. Adım (İşlemde Yerine Koyma):
\[ A = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + 1 \] - 3. Adım (Hesaplama):
Önce çarpma işlemini yaparız:
\[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Şimdi toplama işlemini yapalım:
\[ A = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \]
✅ Cevap: \(\frac{5}{4}\)
Örnek 4:
Bir \(ABC\) ikizkenar üçgeninde \(|AB| = |AC| = 13\) cm ve taban uzunluğu \(|BC| = 10\) cm'dir.
Buna göre, \(B\) açısının tanjant değerini (\(\tan(B)\)) bulunuz. 📐
Buna göre, \(B\) açısının tanjant değerini (\(\tan(B)\)) bulunuz. 📐
Çözüm:
İkizkenar üçgen sorularında trigonometrik oran bulmak için tabana dikme indirmek en temel yöntemdir:
✅ Cevap: \(\frac{12}{5}\)
- 1. Adım (Yükseklik Çizimi): \(A\) köşesinden \(BC\) tabanına bir \(AH\) dikmesi indirelim.
İkizkenar üçgende indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
Bu durumda taban iki eşit parçaya bölünür:
\[ |BH| = |HC| = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] - 2. Adım (Yüksekliğin Bulunması): Oluşan \(ABH\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygularız.
\[ |AH|^2 + |BH|^2 = |AB|^2 \] \[ |AH|^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ |AH|^2 + 25 = 169 \Rightarrow |AH|^2 = 144 \Rightarrow |AH| = 12 \text{ cm} \] (Bu üçgen \(5 - 12 - 13\) özel üçgenidir.) - 3. Adım (\(\tan(B)\) Oranının Hesaplanması): \(ABH\) dik üçgeninde \(B\) açısının tanjantını bulalım.
\[ \tan(B) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{|AH|}{|BH|} \] \[ \tan(B) = \frac{12}{5} \]
✅ Cevap: \(\frac{12}{5}\)
Örnek 5:
Bir \(ABCD\) dik yamuğunda \(AD\) kenarı \(AB\) tabanına diktir (\([AD] \perp [AB]\)).
Üst taban \(|DC| = 4\) birim, alt taban \(|AB| = 9\) birim ve yan dik kenar \(|AD| = 12\) birimdir.
Buna göre, \(B\) açısının kosinüs değerini (\(\cos(B)\)) bulunuz. 📐
Üst taban \(|DC| = 4\) birim, alt taban \(|AB| = 9\) birim ve yan dik kenar \(|AD| = 12\) birimdir.
Buna göre, \(B\) açısının kosinüs değerini (\(\cos(B)\)) bulunuz. 📐
Çözüm:
Yamuk sorularında trigonometrik oran bulmak için genellikle dik üçgen oluşturulur:
✅ Cevap: \(\frac{5}{13}\)
- 1. Adım (Dikme İndirme): \(C\) köşesinden \(AB\) tabanına bir \(CH\) dikmesi indirelim (\([CH] \perp [AB]\)).
Bu durumda \(ADCH\) bir dikdörtgen olur.
Dolayısıyla:
\(|AH| = |DC| = 4\) birim,
\(|CH| = |AD| = 12\) birim olur. - 2. Adım (\(|HB|\) Uzunluğunu Bulma):
\(|AB| = 9\) birim olduğuna göre:
\[ |HB| = |AB| - |AH| = 9 - 4 = 5 \text{ birim} \] - 3. Adım (Hipotenüsü Bulma): Oluşan \(CHB\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygularız.
\[ |CB|^2 = |CH|^2 + |HB|^2 \] \[ |CB|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \Rightarrow |CB| = 13 \text{ birim} \] - 4. Adım (\(\cos(B)\) Değerini Hesaplama): \(CHB\) dik üçgeninde \(B\) açısının kosinüsünü bulalım.
\[ \cos(B) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|HB|}{|CB|} \] \[ \cos(B) = \frac{5}{13} \]
✅ Cevap: \(\frac{5}{13}\)
Örnek 6:
Bir parkta bulunan düz bir aydınlatma direğinin boyu \(8\) metredir.
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açının \(45^\circ\) olduğu bir anda, bu direğin yerde oluşan gölgesinin boyu kaç metre olur? ☀️
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açının \(45^\circ\) olduğu bir anda, bu direğin yerde oluşan gölgesinin boyu kaç metre olur? ☀️
Çözüm:
Bu problemi çözmek için dik üçgen modellemesi yapalım:
💡 Pratik Bilgi: Bir açısı \(45^\circ\) olan dik üçgen, ikizkenar dik üçgendir. Bu nedenle dik kenar uzunlukları birbirine eşittir.
✅ Cevap: \(8\) metre
- 1. Adım (Modelleme): Direk yere dik konumdadır.
Direğin boyu karşı dik kenardır: \(\text{Karşı} = 8\) metre.
Gölge boyu komşu dik kenardır: \(\text{Komşu} = x\) metre.
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı ise \(45^\circ\) dir. - 2. Adım (Trigonometrik Oran Seçimi): Karşı ve komşu kenarları içeren tanjant fonksiyonunu kullanalım.
\[ \tan(45^\circ) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} \] - 3. Adım (Hesaplama): \(\tan(45^\circ) = 1\) olduğunu biliyoruz.
\[ 1 = \frac{8}{x} \] \[ x = 8 \text{ metre} \]
💡 Pratik Bilgi: Bir açısı \(45^\circ\) olan dik üçgen, ikizkenar dik üçgendir. Bu nedenle dik kenar uzunlukları birbirine eşittir.
✅ Cevap: \(8\) metre
Örnek 7:
Bir itfaiye aracı, merdivenini bir binanın duvarına yaslamıştır.
Merdivenin uzunluğu \(20\) metre olup, merdivenin yerle yaptığı açının sinüs değeri \(\sin(a) = \frac{3}{5}\) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, merdivenin ulaştığı en üst noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🚒
Merdivenin uzunluğu \(20\) metre olup, merdivenin yerle yaptığı açının sinüs değeri \(\sin(a) = \frac{3}{5}\) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, merdivenin ulaştığı en üst noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🚒
Çözüm:
Soruyu dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
✅ Cevap: \(12\) metre
- 1. Adım (Modelleme):
Merdivenin uzunluğu hipotenüstür: \(\text{Hipotenüs} = 20\) metre.
Merdivenin ulaştığı yükseklik karşı dik kenardır: \(\text{Karşı} = h\) metre.
Yerle yapılan açı \(a\) derecedir. - 2. Adım (Sinüs Formülünü Uygulama):
\[ \sin(a) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} \] \[ \sin(a) = \frac{h}{20} \] - 3. Adım (Denklemi Çözme): Soruda verilen \(\sin(a) = \frac{3}{5}\) değerini yerine yazalım.
\[ \frac{3}{5} = \frac{h}{20} \] İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 5 \times h = 3 \times 20 \] \[ 5 \times h = 60 \Rightarrow h = 12 \text{ metre} \]
✅ Cevap: \(12\) metre
Örnek 8:
Bir mühendis, nehir üzerine yapılacak köprünün genişliğini ölçmek istiyor.
Nehrin karşı kıyısındaki tam karşısında duran bir ağacı referans alarak nehir kenarı boyunca \(15\) metre sağa doğru yürüyor.
İlk durduğu nokta (ağacın tam karşısı) ile yeni ulaştığı nokta arasındaki açıyı ölçtüğünde bu açının tanjant değerinin \(\sqrt{3}\) olduğunu görüyor.
Buna göre, nehrin genişliği kaç metredir? (Not: \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)) 🌉
Nehrin karşı kıyısındaki tam karşısında duran bir ağacı referans alarak nehir kenarı boyunca \(15\) metre sağa doğru yürüyor.
İlk durduğu nokta (ağacın tam karşısı) ile yeni ulaştığı nokta arasındaki açıyı ölçtüğünde bu açının tanjant değerinin \(\sqrt{3}\) olduğunu görüyor.
Buna göre, nehrin genişliği kaç metredir? (Not: \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)) 🌉
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyelim:
✅ Cevap: \(15\sqrt{3}\) metre
- 1. Adım (Modelleme):
Nehrin genişliği karşı dik kenardır: \(\text{Karşı} = d\) metre.
Mühendisin yürüdüğü mesafe komşu dik kenardır: \(\text{Komşu} = 15\) metre.
Ölçülen açının tanjantı \(\sqrt{3}\) olarak verilmiştir. - 2. Adım (Tanjant Formülünü Uygulama):
\[ \tan(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} \] \[ \tan(x) = \frac{d}{15} \] - 3. Adım (Genişliği Hesaplama):
\(\tan(x) = \sqrt{3}\) olduğunu biliyoruz.
\[ \sqrt{3} = \frac{d}{15} \] Buradan içler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ d = 15\sqrt{3} \text{ metre} \]
✅ Cevap: \(15\sqrt{3}\) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri/sorular