Trigonometri Ders Notu

Trigonometri, üçgenlerin kenarları ile açıları arasındaki ilişkileri inceleyen ve matematiğin hem teorik hem de günlük yaşam uygulamalarında en sık kullanılan dallarından biridir. Bu ünitede yönlü açılardan başlayarak birim çemberi ve temel trigonometrik fonksiyonları inceleyeceğiz.

📐 Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri

Düzlemde başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. Açı oluşturan ışınlardan birini başlangıç kenarı, diğerini bitiş kenarı olarak aldığımızda yönlü açı elde ederiz.

• Pozitif Yön: Saatin dönme yönünün tersi olan yöndür.
• Negatif Yön: Saatin dönme yönü ile aynı olan yöndür.

Açı Ölçü Birimleri

Açı ölçüsünü ifade etmek için sıklıkla Derece ve Radyan birimleri kullanılır.

• Derece (°): Bir çember çevresinin 360 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.
• Radyan (rad): Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Bir çemberin tamamı \( 2\pi \) radyandır.

Derece - Radyan Dönüşüm Formülü: \[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \]

⭕ Birim Çember (Trigonometrik Çember)

Analitik düzlemde merkezi orijin \( (0,0) \) olan ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir.

Birim çember üzerindeki herhangi bir \( P(x,y) \) noktası için denklem:

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

📐 Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende bir dar açının trigonometrik oranları, üçgenin kenar uzunluklarının birbirine oranı ile tanımlanır. Bir ABC dik üçgeninde, ölçüsü \( x \) olan bir dar açı için oranlar şu şekildedir:

Fonksiyon	Tanım / Oran
Sinüs (\(\sin x\))	Karşı Dik Kenar / Hipotenüs
Kosinüs (\(\cos x\))	Komşu Dik Kenar / Hipotenüs
Tanjant (\(\tan x\))	Karşı Dik Kenar / Komşu Dik Kenar
Kotanjant (\(\cot x\))	Komşu Dik Kenar / Karşı Dik Kenar

🔄 Trigonometrik Fonksiyonlar ve Özdeşlikler

Birim çember üzerinde açının bitiş kenarının çemberi kestiği noktanın apsisi o açının kosinüsü, ordinatı ise sinüsüdür.

• Her \( x \) reel sayısı için: \( -1 \le \sin(x) \le 1 \) ve \( -1 \le \cos(x) \le 1 \) aralığındadır.
• Tanjant: \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
• Kotanjant: \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Birim çember denkleminden türetilen en temel özdeşlikler şunlardır:

\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] \[ \tan(x) \times \cot(x) = 1 \]

Önemli Not: Birbirini \( 90^\circ \)'ye (yani \( \frac{\pi}{2} \) radyana) tamamlayan tümler açılardan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.

\( \sin(90^\circ - x) = \cos(x) \)
\( \tan(90^\circ - x) = \cot(x) \)

✏️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Ölçüsü \( 120^\circ \) olan bir açının kaç radyan olduğunu bulunuz.

Çözüm: Dönüşüm formülünü kullanalım:

\[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \] \[ \frac{120}{180} = \frac{R}{\pi} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{R}{\pi} \] \[ R = \frac{2\pi}{3} \text{ radyan bulunur.} \]

Örnek 2: \( x \) bir dar açı olmak üzere, \( \sin(x) = \frac{3}{5} \) olduğuna göre \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini bulunuz.

Çözüm: Dik üçlem mantığından 3-4-5 dik üçgenini düşünelim. Karşı dik kenar 3 birim, hipotenüs 5 birim ise pisagor bağıntısından komşu dik kenar 4 birim olur.

Bu durumda:

\[ \cos(x) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4}{5} \] \[ \tan(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{3}{4} \]

Örnek 3: \( \frac{1 - \sin^2(x)}{\cos(x)} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm: Temel özdeşliğimiz olan \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) denkleminde \( \sin^2(x) \) ifadesini karşıya atarsak \( 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) \) elde ederiz.

İfadede yerine koyalım:

\[ \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} = \cos(x) \]