🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Temel Fonksiyon Grafikleri Ve Dönüşümler (f(x)=x, f(x)=x^2 Ve f(x)=\sqrt{x} Grafik Çizimi) Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Temel Fonksiyon Grafikleri Ve Dönüşümler (f(x)=x, f(x)=x^2 Ve f(x)=\sqrt{x} Grafik Çizimi) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen f(x)=x fonksiyonunun grafiğini çizmek için gerekli olan adımları açıklayınız. Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini belirtiniz. 💡
Çözüm:
Bu fonksiyon, doğrusal bir fonksiyondur ve grafiği bir doğru belirtir.
Grafiği çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır.
Grafiği çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır.
- Adım 1: Noktaları Belirleme 👉
- x = 0 için, f(0) = 0 olur. Bu bize (0,0) noktasını verir.
- x = 1 için, f(1) = 1 olur. Bu bize (1,1) noktasını verir.
- x = -1 için, f(-1) = -1 olur. Bu bize (-1,-1) noktasını verir.
- Adım 2: Koordinat Sistemine İşaretleme 📌
Belirlediğimiz (0,0), (1,1) ve (-1,-1) noktalarını bir koordinat sisteminde işaretleriz. - Adım 3: Doğruyu Çizme ✅
İşaretlediğimiz noktalardan geçen bir doğru çizeriz. Bu doğru, orijinden geçen ve x-ekseni ile 45 derecelik açı yapan bir doğrudur. - Tanım ve Görüntü Kümesi:
f(x)=x fonksiyonu için x yerine her gerçel sayı yazabiliriz. Dolayısıyla, tanım kümesi tüm gerçel sayılar kümesi (\(\mathbb{R}\))'dir.
Bu fonksiyonun alabileceği değerler de tüm gerçel sayılardır. Bu nedenle, görüntü kümesi de tüm gerçel sayılar kümesi (\(\mathbb{R}\))'dir.
Örnek 2:
f(x) = \(x^2\) fonksiyonunun grafiğini çizmek için hangi noktaları kullanırız ve grafiğin temel özelliklerini açıklayınız. 🎯
Çözüm:
f(x) = \(x^2\) fonksiyonu, bir parabol belirtir ve grafiği U şeklindedir.
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için bazı kritik noktaları belirleyelim ve özelliklerini inceleyelim.
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için bazı kritik noktaları belirleyelim ve özelliklerini inceleyelim.
- Adım 1: Noktaları Belirleme ✍️
- x = 0 için, f(0) = \(0^2\) = 0. Bu bize (0,0) noktasını (tepe noktasını) verir.
- x = 1 için, f(1) = \(1^2\) = 1. Bu bize (1,1) noktasını verir.
- x = -1 için, f(-1) = \((-1)^2\) = 1. Bu bize (-1,1) noktasını verir.
- x = 2 için, f(2) = \(2^2\) = 4. Bu bize (2,4) noktasını verir.
- x = -2 için, f(-2) = \((-2)^2\) = 4. Bu bize (-2,4) noktasını verir.
- Adım 2: Koordinat Sistemine İşaretleme ve Birleştirme 📈
Belirlediğimiz noktaları (0,0), (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4) bir koordinat sisteminde işaretleyip, düzgün bir eğri ile birleştirerek parabolü çizeriz. - Temel Özellikler:
- Tepe Noktası: Grafiğin en alt noktası (0,0) orijindedir.
- Simetri Ekseni: y-ekseni (x=0 doğrusu) bu parabolün simetri eksenidir. Yani, y-eksenine göre simetriktir.
- Tanım Kümesi: x yerine her gerçel sayı yazılabilir, yani \(\mathbb{R}\).
- Görüntü Kümesi: \(x^2\) ifadesi her zaman 0'dan büyük veya 0'a eşit olacağı için, f(x) değerleri 0 ve pozitif gerçel sayılardır. Yani, \([0, \infty)\) aralığıdır.
Örnek 3:
f(x) = \(\sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini belirlerken nelere dikkat etmeliyiz? 🤔
Çözüm:
f(x) = \(\sqrt{x}\) fonksiyonu, karekök fonksiyonudur. Karekökün içindeki ifadenin negatif olamayacağı kuralına dikkat etmeliyiz.
- Adım 1: Tanım Kümesini Belirleme 🔑
Karekök içindeki x'in negatif olmaması gerekir. Bu yüzden \(x \ge 0\) olmalıdır.
Yani, tanım kümesi \([0, \infty)\) aralığıdır. Sadece pozitif x değerleri ve 0 için f(x) tanımlıdır. - Adım 2: Noktaları Belirleme 📝
- x = 0 için, f(0) = \(\sqrt{0}\) = 0. Bu bize (0,0) noktasını verir.
- x = 1 için, f(1) = \(\sqrt{1}\) = 1. Bu bize (1,1) noktasını verir.
- x = 4 için, f(4) = \(\sqrt{4}\) = 2. Bu bize (4,2) noktasını verir.
- x = 9 için, f(9) = \(\sqrt{9}\) = 3. Bu bize (9,3) noktasını verir.
- Adım 3: Koordinat Sistemine İşaretleme ve Birleştirme 📊
Belirlediğimiz noktaları (0,0), (1,1), (4,2), (9,3) bir koordinat sisteminde işaretleyip, düzgün bir eğri ile birleştirerek grafiği çizeriz. Grafik, orijinden başlar ve sağa doğru artarak gider. - Görüntü Kümesi:
\(\sqrt{x}\) ifadesinin sonucu asla negatif olamaz. En küçük değeri 0'dır (x=0 için). x arttıkça f(x) de artar.
Bu nedenle, görüntü kümesi de \([0, \infty)\) aralığıdır.
Örnek 4:
f(x) = \(x^2\) fonksiyonunun grafiği bilindiğine göre, g(x) = \(x^2 + 3\) fonksiyonunun grafiğini nasıl çizersiniz? Bu dönüşümün ne anlama geldiğini açıklayınız. 🏗️
Çözüm:
g(x) = \(x^2 + 3\) fonksiyonu, f(x) = \(x^2\) fonksiyonunun bir dönüşümüdür.
- Dönüşümün Anlamı: 💡
Bir fonksiyona sabit bir sayı eklemek (veya çıkarmak), o fonksiyonun grafiğini dikey olarak ötelemek anlamına gelir.
Burada, f(x) = \(x^2\) grafiğine "+3" eklendiği için, grafik y-ekseni boyunca 3 birim yukarıya ötelenir. - Grafik Çizimi Adımları:
- Orijinal Grafiği Düşünme: Öncelikle f(x) = \(x^2\) parabolünün tepe noktası (0,0) ve diğer noktalarını (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4) gözümüzde canlandırırız.
- Dikey Öteleme Uygulama: Orijinal grafiğin her bir noktasının y-koordinatına 3 ekleriz.
- (0,0) noktası \(\rightarrow\) (0, \(0+3\)) = (0,3) olur. (Yeni tepe noktası)
- (1,1) noktası \(\rightarrow\) (1, \(1+3\)) = (1,4) olur.
- (-1,1) noktası \(\rightarrow\) (-1, \(1+3\)) = (-1,4) olur.
- (2,4) noktası \(\rightarrow\) (2, \(4+3\)) = (2,7) olur.
- (-2,4) noktası \(\rightarrow\) (-2, \(4+3\)) = (-2,7) olur.
- Yeni Grafiği Çizme: Bu yeni noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirerek g(x) = \(x^2 + 3\) parabolünün grafiğini çizeriz.
Grafik, y-eksenini (0,3) noktasında kesen, yukarıya doğru açılan bir paraboldür.
Örnek 5:
f(x) = x fonksiyonunun grafiği bilindiğine göre, g(x) = \((x-2)\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve bu dönüşümü yorumlayınız. ➡️
Çözüm:
g(x) = \((x-2)\) fonksiyonu, f(x) = x fonksiyonunun bir dönüşümüdür.
- Dönüşümün Anlamı: 💡
Bir fonksiyonun içindeki x yerine \((x-c)\) yazmak, grafiği yatay olarak ötelemek anlamına gelir.
Burada, x yerine \((x-2)\) yazıldığı için, grafik x-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir.
Unutmayın: \((x-c)\) sağa, \((x+c)\) sola öteleme demektir. - Grafik Çizimi Adımları:
- Orijinal Grafiği Düşünme: Öncelikle f(x) = x doğrusunun (0,0), (1,1), (2,2) gibi noktalarını gözümüzde canlandırırız.
- Yatay Öteleme Uygulama: Orijinal grafiğin her bir noktasının x-koordinatına 2 ekleriz (sağa öteleme olduğu için).
- (0,0) noktası \(\rightarrow\) (\(0+2\), 0) = (2,0) olur.
- (1,1) noktası \(\rightarrow\) (\(1+2\), 1) = (3,1) olur.
- (2,2) noktası \(\rightarrow\) (\(2+2\), 2) = (4,2) olur.
- Yeni Grafiği Çizme: Bu yeni noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirerek g(x) = \((x-2)\) doğrusunun grafiğini çizeriz.
Bu doğru, x-eksenini (2,0) noktasında, y-eksenini ise (0,-2) noktasında kesen bir doğrudur.
Örnek 6:
f(x) = \(\sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiği bilindiğine göre, g(x) = \(\sqrt{x+1}\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve tanım kümesini belirleyiniz. 👈
Çözüm:
g(x) = \(\sqrt{x+1}\) fonksiyonu, f(x) = \(\sqrt{x}\) fonksiyonunun bir dönüşümüdür.
- Dönüşümün Anlamı: 💡
Bir fonksiyonun içindeki x yerine \((x+c)\) yazmak, grafiği yatay olarak ötelemek anlamına gelir.
Burada, x yerine \((x+1)\) yazıldığı için, grafik x-ekseni boyunca 1 birim sola ötelenir. - Tanım Kümesi: 📌
Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Bu yüzden \((x+1) \ge 0\) olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözersek, \(x \ge -1\) elde ederiz.
Yani, g(x) fonksiyonunun tanım kümesi \([-1, \infty)\) aralığıdır. - Grafik Çizimi Adımları:
- Orijinal Grafiği Düşünme: f(x) = \(\sqrt{x}\) grafiğinin başlangıç noktası (0,0) ve diğer noktalarını (1,1), (4,2) gözümüzde canlandırırız.
- Yatay Öteleme Uygulama: Orijinal grafiğin her bir noktasının x-koordinatından 1 çıkarırız (sola öteleme olduğu için).
- (0,0) noktası \(\rightarrow\) (\(0-1\), 0) = (-1,0) olur. (Yeni başlangıç noktası)
- (1,1) noktası \(\rightarrow\) (\(1-1\), 1) = (0,1) olur.
- (4,2) noktası \(\rightarrow\) (\(4-1\), 2) = (3,2) olur.
- Yeni Grafiği Çizme: Bu yeni noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirerek g(x) = \(\sqrt{x+1}\) grafiğini çizeriz.
Grafik, x-eksenini (-1,0) noktasında keser ve oradan sağa doğru artarak devam eder.
Örnek 7:
f(x) = \(x^2\) fonksiyonunun grafiği bilindiğine göre, h(x) = \(-x^2 + 2\) fonksiyonunun grafiğini adım adım çiziniz ve yapılan dönüşümleri açıklayınız. 🔄
Çözüm:
h(x) = \(-x^2 + 2\) fonksiyonunun grafiği, f(x) = \(x^2\) fonksiyonuna ardışık iki dönüşüm uygulanarak elde edilir.
- Dönüşüm 1: Yansıma ↔️
Öncelikle f(x) = \(x^2\) fonksiyonunun önüne bir eksi işareti gelmesi, yani g(x) = \(-x^2\) olması, grafiğin x-eksenine göre yansıması anlamına gelir.
Orijinal parabol yukarıya doğru açılırken, g(x) = \(-x^2\) parabolü aşağıya doğru açılır ve tepe noktası yine (0,0) olur. - Dönüşüm 2: Dikey Öteleme ⬆️
Daha sonra, g(x) = \(-x^2\) fonksiyonuna "+2" eklenmesi, yani h(x) = \(-x^2 + 2\) olması, grafiğin y-ekseni boyunca 2 birim yukarıya ötelenmesi anlamına gelir. - Grafik Çizimi Adımları:
- Başlangıç Grafiği (f(x) = \(x^2\)):
- (0,0), (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4) noktalarını düşünün.
- Birinci Dönüşüm (g(x) = \(-x^2\)): x-eksenine göre yansıma.
- (0,0) noktası değişmez.
- (1,1) \(\rightarrow\) (1,-1)
- (-1,1) \(\rightarrow\) (-1,-1)
- (2,4) \(\rightarrow\) (2,-4)
- (-2,4) \(\rightarrow\) (-2,-4)
- İkinci Dönüşüm (h(x) = \(-x^2 + 2\)): 2 birim yukarı öteleme.
- (0,0) \(\rightarrow\) (0, \(0+2\)) = (0,2) (Yeni tepe noktası)
- (1,-1) \(\rightarrow\) (1, \(-1+2\)) = (1,1)
- (-1,-1) \(\rightarrow\) (-1, \(-1+2\)) = (-1,1)
- (2,-4) \(\rightarrow\) (2, \(-4+2\)) = (2,-2)
- (-2,-4) \(\rightarrow\) (-2, \(-4+2\)) = (-2,-2)
Grafik, tepe noktası (0,2) olan ve aşağıya doğru açılan bir paraboldür.
- Başlangıç Grafiği (f(x) = \(x^2\)):
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprünün kemer yapısını modellemek için f(x) = \(-x^2\) fonksiyonunu kullanmıştır. Ancak, kemeri yerden 5 birim yukarıda ve tepe noktasının orijinden 3 birim sağda olmasını istemektedir.
Buna göre, bu yeni kemer yapısını temsil eden g(x) fonksiyonunun denklemini yazınız ve bu fonksiyonun tepe noktasını belirtiniz. 🌉
Buna göre, bu yeni kemer yapısını temsil eden g(x) fonksiyonunun denklemini yazınız ve bu fonksiyonun tepe noktasını belirtiniz. 🌉
Çözüm:
Mühendisin istediği kemer yapısı, orijinal f(x) = \(-x^2\) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulanarak elde edilebilir.
- Adım 1: Yansımış Başlangıç Fonksiyonu 📉
Kemer yapısı genellikle ters U şeklinde olduğu için, f(x) = \(-x^2\) fonksiyonu zaten doğru başlangıç noktasıdır. Bu fonksiyonun tepe noktası (0,0) ve aşağıya doğru açılan bir paraboldür. - Adım 2: Yatay Öteleme (3 birim sağa) ➡️
Tepe noktasının orijinden 3 birim sağda olması istendiği için, fonksiyonun içindeki x yerine \((x-3)\) yazılır.
Bu dönüşümle fonksiyon \(y = -(x-3)^2\) haline gelir.
Bu fonksiyonun tepe noktası şimdi (3,0)'dır. - Adım 3: Dikey Öteleme (5 birim yukarı) ⬆️
Kemerin yerden 5 birim yukarıda olması istendiği için, fonksiyona +5 eklenir.
Bu dönüşümle fonksiyon \(y = -(x-3)^2 + 5\) haline gelir. - Sonuç: ✅
Yeni kemer yapısını temsil eden g(x) fonksiyonunun denklemi:
\[ g(x) = -(x-3)^2 + 5 \] Bu fonksiyonun tepe noktası, uygulanan dönüşümler sonucunda (3, 5) noktasıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-temel-fonksiyon-grafikleri-ve-donusumler-f-x-x-f-x-x-2-ve-f-x-sqrt-x-grafik-cizimi/sorular