📄 10. Sınıf Matematik: Temel Fonksiyon Grafikleri Ve Dönüşümler (f(x)=x, f(x)=x^2 Ve f(x)=\sqrt{x} Grafik Çizimi) Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun grafiği bir paraboldür.
Bazı noktaları bularak grafiği çizebiliriz:
\(x=-2 \Rightarrow f(-2)=(-2)^2=4\)
\(x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^2=1\)
\(x=0 \Rightarrow f(0)=0^2=0\)
\(x=1 \Rightarrow f(1)=1^2=1\)
\(x=2 \Rightarrow f(2)=2^2=4\)
Bu noktalar \((-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)\) şeklindedir.
Grafik, tepe noktası \((0,0)\) olan ve y eksenine göre simetrik, kolları yukarı doğru açılan bir paraboldür.
Tanım kümesi: Tüm gerçek sayılar kümesidir, yani \(D_f = \mathbb{R}\).
Değer kümesi: Fonksiyonun aldığı en küçük değer 0'dır (\(f(0)=0\)). \(x^2\) ifadesi asla negatif olamayacağından, değer kümesi \([0, \infty)\) aralığıdır.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(f(x)=\sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğini çizelim:
Tanım kümesi \([0, \infty)\) olduğundan sadece x'in pozitif olduğu değerlere bakarız.
\(x=0 \Rightarrow f(0)=\sqrt{0}=0\)
\(x=1 \Rightarrow f(1)=\sqrt{1}=1\)
\(x=4 \Rightarrow f(4)=\sqrt{4}=2\)
\(x=9 \Rightarrow f(9)=\sqrt{9}=3\)
Bu noktalar \((0,0), (1,1), (4,2), (9,3)\) şeklindedir. Grafik orijinden başlayıp sağa doğru artarak yükselen bir eğridir.

Şimdi \(g(x)=\sqrt{x-1}+2\) fonksiyonunun grafiğini çizelim:
1. Adım: \(f(x)=\sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğini x ekseni boyunca 1 birim sağa öteleyerek \(h(x)=\sqrt{x-1}\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Orijin noktası \((0,0)\) iken \((1,0)\) noktasına kayar. Diğer noktalar da aynı şekilde sağa 1 birim kayar: \((1,1)\) noktası \((2,1)\), \((4,2)\) noktası \((5,2)\) olur.
2. Adım: Elde ettiğimiz \(h(x)=\sqrt{x-1}\) fonksiyonunun grafiğini y ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleyerek \(g(x)=\sqrt{x-1}+2\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. \((1,0)\) noktası \((1,2)\) noktasına kayar. \((2,1)\) noktası \((2,3)\) noktasına, \((5,2)\) noktası \((5,4)\) noktasına dönüşür.
Bu adımlarla \(g(x)=\sqrt{x-1}+2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)=\sqrt{x}\) grafiğinin x ekseninde 1 birim sağa ve y ekseninde 2 birim yukarı ötelenmiş halidir. Başlangıç noktası \((1,2)\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun grafiği, tepe noktası \((0,0)\) olan, kolları yukarı doğru açılan bir paraboldür.

1. \(y=-f(x)\) dönüşümünün etkisi:
Bu dönüşüm, \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre yansımasını ifade eder. Her \(y\) değeri \(-y\) ile değiştirilir.
\(y=-f(x) \Rightarrow y=-(x^2) \Rightarrow y=-x^2\).
Sonuç olarak, parabolün kolları aşağı doğru açılır ve tepe noktası yine \((0,0)\) olur.

2. \(y=f(-x)\) dönüşümünün etkisi:
Bu dönüşüm, \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre yansımasını ifade eder. Her \(x\) değeri \(-x\) ile değiştirilir.
\(y=f(-x) \Rightarrow y=(-x)^2 \Rightarrow y=x^2\).
\(f(x)=x^2\) fonksiyonu y eksenine göre zaten simetrik olduğundan, \(y=f(-x)\) dönüşümü uygulandığında grafik değişmez. Yani \(f(x)=f(-x)\) özelliği gösterir.