💡 10. Sınıf Matematik: Tekrarlı Sıralama Çözümlü Örnekler

Bu problemde her mektup için 3 farklı posta kutusu seçeneği vardır.

• Birinci mektup için 3 seçenek vardır.
• İkinci mektup için 3 seçenek vardır.
• Üçüncü mektup için 3 seçenek vardır.
• Dördüncü mektup için 3 seçenek vardır.

Bu seçeneklerin çarpımı, toplam farklı atılma sayısını verir. \[ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 \] \[ 3^4 = 81 \] Yani, 4 mektup 3 posta kutusuna 81 farklı şekilde atılabilir. ✅

Her bilye için 5 farklı torba seçeneği bulunmaktadır.

• Birinci bilye için 5 seçenek vardır.
• İkinci bilye için 5 seçenek vardır.
• Üçüncü bilye için 5 seçenek vardır.
• Dördüncü bilye için 5 seçenek vardır.
• Beşinci bilye için 5 seçenek vardır.

Toplam farklı yerleştirme sayısı, bu seçeneklerin çarpımıdır. \[ 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 \] \[ 5^5 = 3125 \] Yani, 5 bilye 5 torbaya 3125 farklı şekilde konulabilir. 👍

3 basamaklı bir sayının ilk basamağı (yüzler basamağı) 0 olamaz.

• Yüzler Basamağı: 1'den 9'a kadar 9 farklı rakam seçilebilir.
• Onlar Basamağı: İlk basamakta kullanılan rakam hariç, geriye kalan 9 rakamdan biri seçilebilir (0 dahil).
• Birler Basamağı: İlk iki basamakta kullanılan rakamlar hariç, geriye kalan 8 rakamdan biri seçilebilir.

Bu sayede rakamları farklı 3 basamaklı sayılar elde ederiz. Toplam sayı = (Yüzler basamağı seçenekleri) × (Onlar basamağı seçenekleri) × (Birler basamağı seçenekleri) \[ 9 \times 9 \times 8 \] \[ 9 \times 9 \times 8 = 81 \times 8 = 648 \] Dolayısıyla, rakamları farklı 648 tane 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir. ✍️

Tek sayı olması için birler basamağının tek rakamlardan biri olması gerekir.

• Birler Basamağı: {1, 3, 5} kümesinden 3 farklı rakam seçilebilir.
• Diğer Basamaklar: Birler basamağı seçildikten sonra geriye 4 rakam kalır. Bu 4 rakam, kalan 3 basamağa (binler, yüzler, onlar) yerleştirilecektir.

Bu tür sıralamalarda permütasyon mantığı kullanılır. Kalan 4 rakamın 3 basamağa kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. \[ P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24 \] Şimdi, birler basamağındaki seçim sayısını bu permütasyon sonucu ile çarpalım. Toplam tek sayı = (Birler basamağı seçenekleri) × (Kalan rakamların sıralanması) \[ 3 \times P(4, 3) = 3 \times 24 = 72 \] Bu nedenle, rakamları farklı 72 tane 4 basamaklı tek sayı yazılabilir. 💯

Öncelikle, öğrencinin kaç farklı gömlek-pantolon kombinasyonu yapabileceğini hesaplayalım.

• Gömlek seçenek sayısı = 5
• Pantolon seçenek sayısı = 3

Toplam farklı kombinasyon sayısı, bu iki sayının çarpımıdır. Toplam Kombinasyon = (Gömlek Sayısı) × (Pantolon Sayısı) \[ 5 \times 3 = 15 \] Öğrenci toplam 15 farklı kombin yapabilir. 10 gün boyunca her gün farklı bir kombin yapması mümkündür çünkü yapabileceği toplam kombinasyon sayısı (15), gün sayısından (10) fazladır. ✅

Bu durum, temel çarpma prensibi ile çözülür. Müşterinin her sandviç seçimi için farklı içecek seçenekleri mevcuttur.

• Sandviç seçenek sayısı = 4
• İçecek seçenek sayısı = 3

Toplam menü seçeneği, bu iki sayının çarpımına eşittir. Toplam Menü Seçeneği = (Sandviç Sayısı) × (İçecek Sayısı) \[ 4 \times 3 = 12 \] Yani, müşteri 12 farklı menü seçeneği arasından seçim yapabilir. 😋

Bu soruda hem rakamları tekrarlı hem de tekrarsız durumları dikkate almalıyız. Ancak 3 basamaklı sayılarda ilk basamağın 0 olamayacağını unutmamalıyız. Önce tüm olası 3 basamaklı sayıları (rakam tekrarı olabilir veya olmayabilir) bulalım:

• Yüzler Basamağı: 0 olamayacağı için {1, 2, 3, 4} kümesinden 4 seçenek vardır.
• Onlar Basamağı: {0, 1, 2, 3, 4} kümesinden 5 seçenek vardır.
• Birler Basamağı: {0, 1, 2, 3, 4} kümesinden 5 seçenek vardır.

Rakamları tekrarlı veya tekrarsız tüm 3 basamaklı sayılar: \[ 4 \times 5 \times 5 = 100 \] Bu 100 sayının içinde rakamları tekrarlı olanlar da, rakamları farklı olanlar da bulunmaktadır. Soru bizden bu iki durumu da kapsayan toplam sayıyı istediği için bu hesaplama yeterlidir. ✅

Bu problem, temel çarpma prensibi ile çözülür. Her ceket modeli için farklı renk seçenekleri mevcuttur.

• Ceket model sayısı = 3
• Her modeldeki renk sayısı = 4

Toplam farklı ceket seçeneği, bu iki sayının çarpımına eşittir. Toplam Ceket Seçeneği = (Model Sayısı) × (Renk Sayısı) \[ 3 \times 4 = 12 \] Yani, müşteri 12 farklı ceket seçeneği arasından birini alabilir. 🛍️