Tekrarlı Sıralama Ders Notu

Tekrarlı Sıralama

Tekrarlı sıralama, bir kümedeki elemanların tekrar sayısına bakılmaksızın kaç farklı şekilde dizilebileceğini inceleyen bir konudur. Bu, permütasyon kavramının bir uzantısıdır. Temel permütasyon hesaplamalarında her elemanın birbirinden farklı olduğu varsayılırken, tekrarlı sıralamada bazı elemanlar aynı olabilir.

Tekrarlı Sıralama Formülü

n tane elemanın bulunduğu bir kümede, bu elemanlardan \( n_1 \) tanesi bir türden, \( n_2 \) tanesi ikinci bir türden, ..., \( n_k \) tanesi k'ıncı bir türden olmak üzere toplam n eleman varsa, bu elemanların farklı dizilişlerinin sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} \]

Burada:

\( n! \) (n faktöriyel), \( n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1 \) anlamına gelir.
\( n_1, n_2, \ldots, n_k \) tekrarlayan elemanların sayısını ifade eder.
\( n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n \) olmalıdır.

Örnek 1: Kelime Dizilişleri

SORU: "MATEMATİK" kelimesinin harflerini kullanarak kaç farklı şekilde dizilim yapılabilir?

ÇÖZÜM:

Öncelikle kelimedeki toplam harf sayısını bulalım: n = 9.

Şimdi tekrar eden harfleri belirleyelim:

M harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_1 = 2 \)).
A harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_2 = 2 \)).
T harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_3 = 2 \)).
E, İ, K harfleri birer kez tekrar ediyor (bunlar için faktöriyel 1'dir ve formülde etkisi olmaz).

Formülü uygulayalım:

\[ \frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{362880}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]

Bu nedenle, "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle 45360 farklı dizilim yapılabilir.

Örnek 2: Nesne Dizilişleri

SORU: Elimizde 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top bulunmaktadır. Bu topları yan yana kaç farklı şekilde dizebiliriz?

ÇÖZÜM:

Toplam top sayısı: n = 3 + 2 + 1 = 6.

Tekrar eden topların sayıları:

Kırmızı toplar: \( n_1 = 3 \).
Mavi toplar: \( n_2 = 2 \).
Yeşil toplar: \( n_3 = 1 \).

Formülü uygulayalım:

\[ \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{(6) \cdot (2) \cdot (1)} = \frac{720}{12} = 60 \]

Bu toplar yan yana 60 farklı şekilde dizilebilir.

Örnek 3: Sayı Oluşturma

SORU: 1, 1, 2, 3, 3, 3 rakamlarını kullanarak kaç farklı 6 basamaklı doğal sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM:

Toplam rakam sayısı: n = 6.

Tekrar eden rakamların sayıları:

1 rakamı: \( n_1 = 2 \).
2 rakamı: \( n_2 = 1 \).
3 rakamı: \( n_3 = 3 \).

Formülü uygulayalım:

\[ \frac{6!}{2! \cdot 1! \cdot 3!} = \frac{720}{(2) \cdot (1) \cdot (6)} = \frac{720}{12} = 60 \]

Bu rakamlarla 60 farklı 6 basamaklı doğal sayı yazılabilir.

Önemli Notlar

Tekrarlı sıralama formülünde, tekrar eden elemanların sayılarının faktöriyelleri paydada çarpım durumunda yer alır.
Eğer bir eleman hiç tekrar etmiyorsa (örneğin, bir kelimedeki tekil harfler), o elemanın faktöriyeli \( 1! \) olup paydada çarpıma dahil edildiğinde sonucu değiştirmez.
Bu konu, kombinasyon ve permütasyon ile yakından ilişkilidir ve olasılık hesaplarında da sıkça kullanılır.