Bir öğrencinin dolabında 4 farklı pantolonu ve 5 farklı gömleği bulunmaktadır.
Bu öğrenci, bir pantolon veya bir gömleği kaç farklı şekilde seçebilir? 👕👖
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda Toplama Yoluyla Sayma kuralını uygulamalıyız. "Veya" bağlacı, seçeneklerin birleşimini ifade eder.
Pantolon seçeneklerinin sayısı: \( 4 \)
Gömlek seçeneklerinin sayısı: \( 5 \)
Toplam seçim sayısı: \( 4 + 5 = 9 \)
✅ Öğrenci bu seçimi 9 farklı şekilde yapabilir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir kafeteryada 3 farklı tatlı ve 6 farklı içecek seçeneği sunulmaktadır.
Bir tatlı ve bir içecek almak isteyen bir müşteri, bu seçimi kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir? 🍰☕
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda Çarpma Yoluyla Sayma kuralını uygulamalıyız. "Ve" bağlacı, olayların birlikte gerçekleştiğini ifade eder.
Tatlı seçimi için durum sayısı: \( 3 \)
İçecek seçimi için durum sayısı: \( 6 \)
Toplam seçim sayısı: \( 3 \times 6 = 18 \)
✅ Müşteri bu seçimi 18 farklı şekilde yapabilir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak;
Rakamları farklı, 3 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? 🔢
Çözüm ve Açıklama
3 basamaklı bir sayı için yüzler, onlar ve birler basamağını belirleyelim:
Yüzler basamağı: Kümedeki 5 rakamdan herhangi biri gelebilir. (5 seçenek)
Onlar basamağı: Rakamlar farklı olacağı için kullanılan rakam çıkarılır. (4 seçenek)
Birler basamağı: Kalan rakamlardan biri seçilir. (3 seçenek)
Çarpma kuralına göre sonuç:
\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
✅ Rakamları farklı 60 farklı sayı yazılabilir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir kitaplık rafına 3 farklı Matematik ve 4 farklı Fizik kitabı yan yana dizilecektir.
Matematik kitapları bir arada (yan yana) olmak koşuluyla bu dizilim kaç farklı şekilde yapılabilir? 📚
Çözüm ve Açıklama
Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için onları tek bir paket gibi düşünmeliyiz.
Matematik kitaplarını 1 birim sayalım: \( M = 1 \)
Fizik kitapları: \( 4 \) birim
Toplam birim sayısı: \( 1 + 4 = 5 \)
Bu 5 birimin kendi arasındaki sıralanışı: \( 5! \)
Ayrıca, paket içindeki 3 matematik kitabının kendi arasındaki yer değişimi: \( 3! \)
Toplam durum sayısı:
\[ 5! \times 3! \]
\[ 120 \times 6 = 720 \]
✅ Kitaplar 720 farklı şekilde dizilebilir.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana gelmemek şartıyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 📸
Çözüm ve Açıklama
Bu tür sorularda "Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar" yöntemini kullanmak daha kolaydır.
Tüm Durumlar: Toplam 6 kişi oldukları için \( 6! = 720 \)
İstenmeyen Durum (Anne ve babanın yan yana olması):
Anne ve babayı 1 birim sayalım. 4 çocukla beraber toplam 5 birim olur.
Sıralama: \( 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \)
Sonuç: \( 720 - 240 = 480 \)
✅ Anne ve baba yan yana gelmeden 480 farklı şekilde sıralanabilirler.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir kargo şirketi, paketlerin üzerine 4 haneli bir takip kodu basmaktadır.
Bu kodun ilk iki hanesi A, B, C harflerinden (tekrarlı olabilir), son iki hanesi ise sıfırdan farklı rakamlardan (tekrarsız) oluşmaktadır.
Buna göre kaç farklı takip kodu oluşturulabilir? 📦
Çözüm ve Açıklama
Adım adım haneleri hesaplayalım:
1. Hane (Harf): A, B, C olmak üzere 3 seçenek.
2. Hane (Harf): Tekrarlı olabildiği için yine 3 seçenek.
3. Hane (Rakam): Sıfırdan farklı rakamlar {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} arasından 9 seçenek.
4. Hane (Rakam): Rakamlar tekrarsız olacağı için kalan 8 seçenek.
Çarpma kuralını uygulayalım:
\[ 3 \times 3 \times 9 \times 8 \]
\[ 9 \times 72 = 648 \]
✅ Toplam 648 farklı takip kodu oluşturulabilir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir tiyatro salonunda yan yana boş olan 5 koltuğa, 3 arkadaş olan Ali, Burak ve Can oturacaktır.
Ali ve Burak'ın arasında daima Can'ın oturması şartıyla bu 3 arkadaş kaç farklı şekilde oturabilir? 🎭
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda Ali, Can ve Burak ayrılmaz bir grup oluşturur ve sıralama Ali - Can - Burak veya Burak - Can - Ali şeklinde olmalıdır.
Grubu (ACB) veya (BCA) olarak tek bir paket sayalım.
Geriye 2 boş koltuk kalır. Toplamda 3 birim (1 paket + 2 boş koltuk) varmış gibi düşünürüz.
Ancak boş koltuklar özdeş olduğu için bu yaklaşım yerine yerleri sayalım:
Grup (1, 2, 3), (2, 3, 4) veya (3, 4, 5) numaralı koltuklara oturabilir. (3 farklı yer)
Her bir yerleşimde Ali ve Burak kendi arasında 2 farklı şekilde yer değiştirebilir (Can ortada sabit).
Toplam durum sayısı:
\[ 3 \times 2 = 6 \]
✅ Bu 3 arkadaş 6 farklı şekilde oturabilir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir akıllı telefonun ekran kilidi için 4 basamaklı bir şifre belirlenecektir.
Şifrenin çift sayı olması ve rakamlarının farklı olması istenmektedir.
Buna göre kaç farklı ekran kilidi şifresi oluşturulabilir? 📱
Çözüm ve Açıklama
Rakamlar kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sayının çift olması için birler basamağı {0, 2, 4, 6, 8} olmalıdır. 0 başa gelemeyeceği için iki durumda inceleyelim:
Durum 1: Son basamak 0 ise:
Birler basamağı: 1 seçenek (0)
Binler basamağı: 9 seçenek (0 hariç hepsi)
Yüzler basamağı: 8 seçenek
Onlar basamağı: 7 seçenek
\( 9 \times 8 \times 7 \times 1 = 504 \)
Durum 2: Son basamak {2, 4, 6, 8} ise:
Birler basamağı: 4 seçenek
Binler basamağı: 8 seçenek (0 ve son basamak hariç)
Yüzler basamağı: 8 seçenek (0 artık kullanılabilir)
Onlar basamağı: 7 seçenek
\( 8 \times 8 \times 7 \times 4 = 1792 \)
Toplam: \( 504 + 1792 = 2296 \)
✅ Toplam 2296 farklı şifre oluşturulabilir.
10. Sınıf Matematik: Sıralama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir öğrencinin dolabında 4 farklı pantolonu ve 5 farklı gömleği bulunmaktadır.
Bu öğrenci, bir pantolon veya bir gömleği kaç farklı şekilde seçebilir? 👕👖
Çözüm:
Bu soruda Toplama Yoluyla Sayma kuralını uygulamalıyız. "Veya" bağlacı, seçeneklerin birleşimini ifade eder.
Pantolon seçeneklerinin sayısı: \( 4 \)
Gömlek seçeneklerinin sayısı: \( 5 \)
Toplam seçim sayısı: \( 4 + 5 = 9 \)
✅ Öğrenci bu seçimi 9 farklı şekilde yapabilir.
Örnek 2:
Bir kafeteryada 3 farklı tatlı ve 6 farklı içecek seçeneği sunulmaktadır.
Bir tatlı ve bir içecek almak isteyen bir müşteri, bu seçimi kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir? 🍰☕
Çözüm:
Bu soruda Çarpma Yoluyla Sayma kuralını uygulamalıyız. "Ve" bağlacı, olayların birlikte gerçekleştiğini ifade eder.
Tatlı seçimi için durum sayısı: \( 3 \)
İçecek seçimi için durum sayısı: \( 6 \)
Toplam seçim sayısı: \( 3 \times 6 = 18 \)
✅ Müşteri bu seçimi 18 farklı şekilde yapabilir.
Örnek 3:
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak;
Rakamları farklı, 3 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? 🔢
Çözüm:
3 basamaklı bir sayı için yüzler, onlar ve birler basamağını belirleyelim:
Yüzler basamağı: Kümedeki 5 rakamdan herhangi biri gelebilir. (5 seçenek)
Onlar basamağı: Rakamlar farklı olacağı için kullanılan rakam çıkarılır. (4 seçenek)
Birler basamağı: Kalan rakamlardan biri seçilir. (3 seçenek)
Çarpma kuralına göre sonuç:
\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
✅ Rakamları farklı 60 farklı sayı yazılabilir.
Örnek 4:
Bir kitaplık rafına 3 farklı Matematik ve 4 farklı Fizik kitabı yan yana dizilecektir.
Matematik kitapları bir arada (yan yana) olmak koşuluyla bu dizilim kaç farklı şekilde yapılabilir? 📚
Çözüm:
Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için onları tek bir paket gibi düşünmeliyiz.
Matematik kitaplarını 1 birim sayalım: \( M = 1 \)
Fizik kitapları: \( 4 \) birim
Toplam birim sayısı: \( 1 + 4 = 5 \)
Bu 5 birimin kendi arasındaki sıralanışı: \( 5! \)
Ayrıca, paket içindeki 3 matematik kitabının kendi arasındaki yer değişimi: \( 3! \)
Toplam durum sayısı:
\[ 5! \times 3! \]
\[ 120 \times 6 = 720 \]
✅ Kitaplar 720 farklı şekilde dizilebilir.
Örnek 5:
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana gelmemek şartıyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 📸
Çözüm:
Bu tür sorularda "Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar" yöntemini kullanmak daha kolaydır.
Tüm Durumlar: Toplam 6 kişi oldukları için \( 6! = 720 \)
İstenmeyen Durum (Anne ve babanın yan yana olması):
Anne ve babayı 1 birim sayalım. 4 çocukla beraber toplam 5 birim olur.
Sıralama: \( 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \)
Sonuç: \( 720 - 240 = 480 \)
✅ Anne ve baba yan yana gelmeden 480 farklı şekilde sıralanabilirler.
Örnek 6:
Bir kargo şirketi, paketlerin üzerine 4 haneli bir takip kodu basmaktadır.
Bu kodun ilk iki hanesi A, B, C harflerinden (tekrarlı olabilir), son iki hanesi ise sıfırdan farklı rakamlardan (tekrarsız) oluşmaktadır.
Buna göre kaç farklı takip kodu oluşturulabilir? 📦
Çözüm:
Adım adım haneleri hesaplayalım:
1. Hane (Harf): A, B, C olmak üzere 3 seçenek.
2. Hane (Harf): Tekrarlı olabildiği için yine 3 seçenek.
3. Hane (Rakam): Sıfırdan farklı rakamlar {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} arasından 9 seçenek.
4. Hane (Rakam): Rakamlar tekrarsız olacağı için kalan 8 seçenek.
Çarpma kuralını uygulayalım:
\[ 3 \times 3 \times 9 \times 8 \]
\[ 9 \times 72 = 648 \]
✅ Toplam 648 farklı takip kodu oluşturulabilir.
Örnek 7:
Bir tiyatro salonunda yan yana boş olan 5 koltuğa, 3 arkadaş olan Ali, Burak ve Can oturacaktır.
Ali ve Burak'ın arasında daima Can'ın oturması şartıyla bu 3 arkadaş kaç farklı şekilde oturabilir? 🎭
Çözüm:
Bu durumda Ali, Can ve Burak ayrılmaz bir grup oluşturur ve sıralama Ali - Can - Burak veya Burak - Can - Ali şeklinde olmalıdır.
Grubu (ACB) veya (BCA) olarak tek bir paket sayalım.
Geriye 2 boş koltuk kalır. Toplamda 3 birim (1 paket + 2 boş koltuk) varmış gibi düşünürüz.
Ancak boş koltuklar özdeş olduğu için bu yaklaşım yerine yerleri sayalım:
Grup (1, 2, 3), (2, 3, 4) veya (3, 4, 5) numaralı koltuklara oturabilir. (3 farklı yer)
Her bir yerleşimde Ali ve Burak kendi arasında 2 farklı şekilde yer değiştirebilir (Can ortada sabit).
Toplam durum sayısı:
\[ 3 \times 2 = 6 \]
✅ Bu 3 arkadaş 6 farklı şekilde oturabilir.
Örnek 8:
Bir akıllı telefonun ekran kilidi için 4 basamaklı bir şifre belirlenecektir.
Şifrenin çift sayı olması ve rakamlarının farklı olması istenmektedir.
Buna göre kaç farklı ekran kilidi şifresi oluşturulabilir? 📱
Çözüm:
Rakamlar kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sayının çift olması için birler basamağı {0, 2, 4, 6, 8} olmalıdır. 0 başa gelemeyeceği için iki durumda inceleyelim:
Durum 1: Son basamak 0 ise:
Birler basamağı: 1 seçenek (0)
Binler basamağı: 9 seçenek (0 hariç hepsi)
Yüzler basamağı: 8 seçenek
Onlar basamağı: 7 seçenek
\( 9 \times 8 \times 7 \times 1 = 504 \)
Durum 2: Son basamak {2, 4, 6, 8} ise:
Birler basamağı: 4 seçenek
Binler basamağı: 8 seçenek (0 ve son basamak hariç)
Yüzler basamağı: 8 seçenek (0 artık kullanılabilir)