🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma yöntemleri, faktöriyel, permütasyon, kombinasyon, pascal üçgeni, güvercin yuvası ilkesi, algoritmik yapı, mantık bağlaçları, döngülü algoritmalar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayma yöntemleri, faktöriyel, permütasyon, kombinasyon, pascal üçgeni, güvercin yuvası ilkesi, algoritmik yapı, mantık bağlaçları, döngülü algoritmalar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
5 farklı renkteki tişört arasından 2 farklı tişört kaç farklı şekilde seçilebilir? 👕
Çözüm:
Bu problemde seçim yapacağımız için kombinasyon kullanmalıyız.
- Toplam tişört sayısı: \( n = 5 \)
- Seçilecek tişört sayısı: \( k = 2 \)
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Formülde yerine koyarsak: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \)
- Hesaplama: \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \)
Örnek 2:
4 kişilik bir öğrenci grubundan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? 🧑💼
Çözüm:
Bu problemde hem seçim yapıyoruz hem de seçilen kişilerin sıralaması (başkan ve başkan yardımcısı) önemli olduğu için permütasyon kullanmalıyız.
- Toplam öğrenci sayısı: \( n = 4 \)
- Seçilecek pozisyon sayısı: \( k = 2 \)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Formülde yerine koyarsak: \( P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} \)
- Hesaplama: \( \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12 \)
Örnek 3:
6! (6 faktöriyel) değerini hesaplayınız. 🧮
Çözüm:
Faktöriyel, pozitif bir tam sayının kendisinden 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayılarla çarpımını ifade eder.
- Tanım: \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 \)
- 6! için hesaplama: \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
- Çarpma işlemini yaparsak: \( 6 \times 5 = 30 \), \( 30 \times 4 = 120 \), \( 120 \times 3 = 360 \), \( 360 \times 2 = 720 \), \( 720 \times 1 = 720 \)
Örnek 4:
Bir davette 7 arkadaş bir araya geliyor. Bu 7 arkadaş, fotoğraf çektirmek için yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? 📸
Çözüm:
Bu durumda, kişilerin kendi aralarındaki sıralaması önemli olduğu için permütasyon mantığını kullanacağız. Aslında bu, 7 farklı nesnenin kendi arasında sıralanmasıdır.
- Toplam kişi sayısı: \( n = 7 \)
- Sıralanacak pozisyon sayısı: \( k = 7 \) (herkes sıraya girecek)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Burada \( k=n \) olduğu için formül \( P(n, n) = n! \) olur.
- Hesaplama: \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
- Sonuç: \( 7! = 5040 \)
Örnek 5:
Bir restoranda menüde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 2 farklı tatlı bulunmaktadır. Bir kişi, bu menüden bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlıdan oluşan bir öğün kaç farklı şekilde seçebilir? 🍽️
Çözüm:
Bu problemde her bir seçim birbirinden bağımsızdır ve bu seçimlerin birleşimi sorulmaktadır. Bu nedenle sayma ilkesi (çarpma kuralı) kullanılır.
- Çorba seçeneği sayısı: 3
- Ana yemek seçeneği sayısı: 4
- Tatlı seçeneği sayısı: 2
- Toplam farklı öğün sayısı = (Çorba sayısı) x (Ana yemek sayısı) x (Tatlı sayısı)
- Hesaplama: \( 3 \times 4 \times 2 = 24 \)
Örnek 6:
5 kişilik bir grup, yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? 🪑
Çözüm:
Yuvarlak masa problemlerinde, kişilerin birbirlerine göre konumları önemlidir. Eğer kişiler doğrusal bir sırada otursaydı \( n! \) farklı sıralama olurdu. Ancak yuvarlak masada bir kişinin sabitlendiğini düşünerek diğerlerinin sıralaması hesaplanır.
- Toplam kişi sayısı: \( n = 5 \)
- Yuvarlak masa permütasyonu formülü: \( (n-1)! \)
- Formülde yerine koyarsak: \( (5-1)! = 4! \)
- Hesaplama: \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
Örnek 7:
Bir koşu yarışında ilk üçe girecek sporcular kaç farklı şekilde belirlenebilir? 🥇🥈🥉
Çözüm:
Bu problemde hem seçme hem de seçilenlerin sıralaması (birinci, ikinci, üçüncü) önemlidir. Bu nedenle permütasyon kullanmalıyız.
- Toplam yarışmacı sayısı: \( n = 8 \) (varsayılan olarak 8 yarışmacı olsun)
- Dereceye girecek yarışmacı sayısı: \( k = 3 \)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Formülde yerine koyarsak: \( P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} \)
- Hesaplama: \( \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \)
Örnek 8:
Bir şifreli kilitte 0'dan 9'a kadar rakamlar kullanılıyor ve şifre 3 haneli. Bu şifre kaç farklı şekilde oluşturulabilir? (Rakamlar tekrarlı olabilir) 🔑
Çözüm:
Bu problemde her bir hanenin seçimi birbirinden bağımsızdır ve rakamlar tekrarlı olabildiği için her hane için 10 farklı seçenek vardır. Bu, sayma ilkesi (çarpma kuralı) ile çözülür.
- Birinci hane için seçenek sayısı: 10 (0-9 arası)
- İkinci hane için seçenek sayısı: 10 (0-9 arası)
- Üçüncü hane için seçenek sayısı: 10 (0-9 arası)
- Toplam farklı şifre sayısı = (1. hane sayısı) x (2. hane sayısı) x (3. hane sayısı)
- Hesaplama: \( 10 \times 10 \times 10 = 1000 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayma-yontemleri-faktoriyel-permutasyon-kombinasyon-pascal-ucgeni-guvercin-yuvasi-ilkesi-algoritmik-yapi-mantik-baglaclari-dongulu-algoritmalar/sorular