💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Çözümlü Örnekler

Bu problem, toplama yoluyla sayma prensibi ile çözülür. Çünkü müşteri, ana yemek, salata veya tatlı seçeneklerinden sadece birini seçecektir. Seçimler birbirini dışlayan durumlardır (aynı anda hem ana yemek hem salata seçemez).

• 👉 Ana yemek seçeneği sayısı: \(3\)
• 👉 Salata seçeneği sayısı: \(2\)
• 👉 Tatlı seçeneği sayısı: \(4\)

Toplam seçim sayısı, bu seçeneklerin sayılarının toplamıdır:

\[ 3 + 2 + 4 = 9 \]

✅ Yani, müşteri toplamda 9 farklı seçim yapabilir.

Bu problem, çarpma yoluyla sayma prensibi ile çözülür. Çünkü kişi, A'dan B'ye bir seçim yapacak ve bu seçimin ardından B'den C'ye başka bir seçim yapacaktır. Bu iki olay ardışık olarak gerçekleşir.

• 👉 A'dan B'ye gidebilecek yol sayısı: \(3\)
• 👉 B'den C'ye gidebilecek yol sayısı: \(4\)

Toplam farklı yol sayısı, bu seçeneklerin sayılarının çarpımıdır:

\[ 3 \times 4 = 12 \]

✅ Dolayısıyla, A şehrinden C şehrine 12 farklı yoldan gidilebilir.

"KİTAP" kelimesi 5 farklı harften oluşmaktadır (K, İ, T, A, P). Bu problem, permütasyon (sıralama) prensibi ile çözülür. Çünkü harflerin sırası önemlidir ve her harf sadece bir kez kullanılabilir.

• 👉 Birinci harf için \(5\) farklı seçenek vardır.
• 👉 İkinci harf için geriye kalan \(4\) farklı seçenek vardır.
• 👉 Üçüncü harf için geriye kalan \(3\) farklı seçenek vardır.
• 👉 Dördüncü harf için geriye kalan \(2\) farklı seçenek vardır.
• 👉 Beşinci harf için geriye kalan \(1\) farklı seçenek vardır.

Toplam farklı kelime sayısı, bu seçeneklerin çarpımıdır ve bu aynı zamanda \(5!\) (5 faktöriyel) olarak ifade edilir:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

✅ "KİTAP" kelimesinin harfleriyle 120 farklı kelime oluşturulabilir.

Bu problem, kombinasyon (seçme) prensibi ile çözülür. Çünkü gruptaki öğrencilerin sıralaması önemli değildir, sadece kimlerin seçildiği önemlidir. Toplamda \(6 + 4 = 10\) öğrenci vardır ve bunlardan 3'ü seçilecektir.

Kombinasyon formülü \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) şeklindedir.

• 👉 Toplam öğrenci sayısı \(n = 10\).
• 👉 Seçilecek öğrenci sayısı \(r = 3\).

Formülü uygulayalım:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} \] \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!7!} \] \[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} \]

Pay ve paydadaki \(7!\) sadeleşir:

\[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \] \[ C(10, 3) = \frac{720}{6} \] \[ C(10, 3) = 120 \]

✅ Bu 3 kişilik grup 120 farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu problem, belirli koşullar altında çarpma yoluyla sayma ve permütasyon prensiplerinin birleşimiyle çözülür. Şifrenin 4 haneli olması ve rakamların birbirinden farklı olması önemlidir.

• 👉 Toplam rakam sayısı: \(10\) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
• 👉 Tek sayılar: \(5\) (1, 3, 5, 7, 9)

Şifrenin hanelerini sırasıyla dolduralım:

1. Birinci hane (binler basamağı): İlk hanenin tek sayı olması istendiği için \(5\) farklı seçeneğimiz vardır (1, 3, 5, 7, 9).
2. İkinci hane (yüzler basamağı): Rakamlar birbirinden farklı olacağı için, ilk hanede kullandığımız rakam hariç geriye kalan \(9\) rakamdan birini seçebiliriz.
3. Üçüncü hane (onlar basamağı): İlk iki hanede kullandığımız rakamlar hariç geriye kalan \(8\) rakamdan birini seçebiliriz.
4. Dördüncü hane (birler basamağı): İlk üç hanede kullandığımız rakamlar hariç geriye kalan \(7\) rakamdan birini seçebiliriz.

Bu seçenekleri çarparak toplam şifre sayısını buluruz:

\[ 5 \times 9 \times 8 \times 7 = 2520 \]

✅ Bu koşulları sağlayan 2520 farklı şifre oluşturulabilir.

Bu durum, çarpma yoluyla sayma prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Öğrenci, tişört seçimini yaptıktan sonra pantolon seçimini yapacaktır; bu iki olay birbirini takip eder.

• 👉 Tişört seçeneği sayısı: \(5\)
• 👉 Pantolon seçeneği sayısı: \(3\)

Toplam farklı kombinasyon sayısı, bu seçeneklerin sayılarının çarpımıdır:

\[ 5 \times 3 = 15 \]

✅ Öğrenci, 15 farklı kıyafet kombinasyonu oluşturabilir.

Bu problem, kombinasyon prensibi ile çözülür ve bir koşul içerir. İlk 3 sorudan en az 2 tanesini cevaplama şartını iki ayrı durum olarak inceleyip, sonuçları toplamamız gerekir.

Toplam 10 soru var, 7 tanesi cevaplanacak.

Durum 1: İlk 3 sorudan tam 2 tanesi cevaplanır.

• 👉 İlk 3 sorudan 2 tanesini seçme: \(C(3, 2)\)
• 👉 Geriye kalan \(10 - 3 = 7\) sorudan, cevaplaması gereken \(7 - 2 = 5\) soruyu seçme: \(C(7, 5)\)

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3 \] \[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

Durum 1 için toplam seçim: \(3 \times 21 = 63\)

Durum 2: İlk 3 sorudan tam 3 tanesi cevaplanır.

• 👉 İlk 3 sorudan 3 tanesini seçme: \(C(3, 3)\)
• 👉 Geriye kalan \(7\) sorudan, cevaplaması gereken \(7 - 3 = 4\) soruyu seçme: \(C(7, 4)\)

\[ C(3, 3) = \frac{3!}{3!0!} = 1 \] (\(0! = 1\) kabul edilir.) \[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Durum 2 için toplam seçim: \(1 \times 35 = 35\)

Toplam farklı seçim sayısı, bu iki durumun toplamıdır:

\[ 63 + 35 = 98 \]

✅ Öğrenci, 98 farklı şekilde soru seçimi yapabilir.

Bu problem, permütasyon prensibi ile çözülür. Çünkü hangi topun hangi kutuya konulduğu ve kutuların sıralaması önemlidir.

• 👉 Toplam top sayısı: \(n = 5\)
• 👉 Topların yerleştirileceği kutu sayısı: \(r = 3\)

Her kutuya en fazla bir top konulacağı için, 5 toptan 3 tanesini seçip bu 3 kutuya sıralamamız gerekir. Bu durum \(P(n, r)\) permütasyon formülü ile hesaplanır: \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\).

Alternatif olarak, her kutu için ayrı ayrı düşünebiliriz:

1. Birinci kutuya konulabilecek \(5\) farklı top seçeneği vardır.
2. İkinci kutuya, birinci kutuya konulan top hariç geriye kalan \(4\) farklı top seçeneği vardır.
3. Üçüncü kutuya, ilk iki kutuya konulan toplar hariç geriye kalan \(3\) farklı top seçeneği vardır.

Bu seçenekleri çarparak toplam yerleştirme sayısını buluruz:

\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Veya permütasyon formülü ile:

\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

✅ Toplar kutulara 60 farklı şekilde yerleştirilebilir.