Sayma Stratejileri Ders Notu

Sayma, insanlığın en temel matematiksel ihtiyaçlarından biridir. Günlük hayatta kaç farklı kıyafet kombinasyonu yapabileceğimizden, bir banka şifresinin kaç farklı şekilde oluşturulabileceğine kadar pek çok durumda sayma yöntemlerine başvururuz. 10. sınıf matematik müfredatında yer alan sayma stratejileri; toplama yoluyla sayma ve çarpma yoluyla sayma ilkeleri üzerine kuruludur.

1. Toplama Yoluyla Sayma ➕

Ayrık iki işlemden birincisi \( a \) farklı yolla, ikincisi \( b \) farklı yolla gerçekleşiyorsa; bu işlemlerden birincisi veya ikincisi \( a + b \) farklı yolla gerçekleşir. Toplama yoluyla saymada temel kural, olayların ayrık olması yani aynı anda gerçekleşemiyor olmasıdır. Buradaki anahtar kelime "veya" bağlacıdır.

Kural: \( A \) ve \( B \) kümeleri ayrık iki küme olmak üzere (\( A \cap B = \emptyset \)), bu kümelerin birleşiminin eleman sayısı:
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) \) formülü ile bulunur.

Örnek: Bir öğrencinin çantasında 4 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bulunmaktadır. Bu öğrenci kütüphanede çalışmak için 1 adet matematik kitabı veya 1 adet fizik kitabını kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: Kitap seçimleri ayrık olaylar olduğu için toplama kuralı uygulanır: \( 4 + 3 = 7 \) farklı seçim yapılabilir.

2. Çarpma Yoluyla Sayma (Temel Sayma İlkesi) ✖️

Bir dizi olayın sırayla veya aynı anda gerçekleştiği durumlarda kullanılır. Birinci olay \( a \) farklı yolla, ikinci olay birinci olaya bağlı olarak \( b \) farklı yolla gerçekleşiyorsa; bu olayların ikisi birlikte ve sırasıyla \( a \times b \) farklı yolla gerçekleşir. Buradaki anahtar kelime "ve" bağlacıdır.

Örnek: 3 farklı pantolonu ve 4 farklı gömleği olan bir kişi, 1 pantolon ve 1 gömleği kaç farklı şekilde giyebilir?

Çözüm: Her bir pantolon için 4 farklı gömlek seçeneği vardır. Dolayısıyla toplam kombinasyon sayısı: \( 3 \times 4 = 12 \) farklı şekilde oluşur.

Yol Sorularında Çarpma İlkesi 🛣️

A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol bulunmaktadır. A kentinden C kentine, B kentinden geçmek şartıyla kaç farklı yoldan gidilebilir?

Çözüm: A'dan B'ye gidiş için 3 seçenek, B'den C'ye gidiş için 4 seçenek vardır. Çarpma ilkesi gereği toplam yol sayısı \( 3 \times 4 = 12 \) olarak bulunur.

3. Faktöriyel Kavramı ❗

\( n \) bir doğal sayı olmak üzere, 1'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına \( n \) faktöriyel denir ve \( n! \) biçiminde gösterilir.

\[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 1 \]

Önemli Faktöriyel Değerleri ve Kuralları:

• \( 0! = 1 \) (Özel kabuldür)
• \( 1! = 1 \)
• \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Büyük faktöriyel ifadeleri, küçük faktöriyeller cinsinden açılabilir:

\[ n! = n \times (n - 1)! \] \[ 7! = 7 \times 6! = 7 \times 6 \times 5! \]

4. Çözümlü Örnek Sorular 📝

Soru 1: İfadenin en sade halini bulunuz:

\[ \frac{8! + 7!}{6!} \]

Çözüm: Pay kısmındaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine almak için büyük olanı küçük olana benzetelim.

\( 8! = 8 \times 7! \) şeklinde yazılır.

Pay: \( 8 \times 7! + 7! = 7! \times (8 + 1) = 7! \times 9 \)

Şimdi paydayla sadeleştirme yapalım:

\( 7! = 7 \times 6! \) olduğu için;

Sonuç = \( \frac{7 \times 6! \times 9}{6!} = 7 \times 9 = 63 \)

Soru 2: \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) kümesinin elemanları kullanılarak 3 basamaklı;

a) Rakamları tekrarsız kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Çözüm: Yüzler, onlar ve birler basamağı için kutu yöntemi uygulayalım.

• Yüzler basamağı için 5 seçenek vardır.
• Rakamları tekrarsız dendiği için onlar basamağına kalan 4 seçenek yazılır.
• Birler basamağına kalan 3 seçenek yazılır.

Toplam sayı = \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \)

b) Kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? (Rakamlar tekrarlanabilir)

Çözüm: Sayının çift olması için birler basamağına kümedeki çift sayılar olan \( \{2, 4\} \) gelmelidir.

• Birler basamağı için 2 seçenek vardır.
• Rakamları tekrar etme kısıtlaması olmadığı için yüzler basamağına 5 seçenek gelebilir.
• Onlar basamağına 5 seçenek gelebilir.

Toplam çift sayı = \( 5 \times 5 \times 2 = 50 \)