💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Sayıları Çözümlü Örnekler

• Birinci çocuk için 5 seçenek
• İkinci çocuk için 4 seçenek (kalan oyuncaklar arasından)
• Üçüncü çocuk için 3 seçenek (kalan oyuncaklar arasından)

• Öncelikle \(8!\) ve \(7!\) ifadelerini açalım:
• \(8! = 8 \times 7 \times 6!\)
• \(7! = 7 \times 6!\)
• Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine koyalım:
\[ \frac{(8 \times 7 \times 6!) + (7 \times 6!)}{6!} \]
• Pay kısmını \(6!\) parantezine alabiliriz:
\[ \frac{6! \times (8 \times 7 + 7)}{6!} \]
• Pay ve paydadaki \(6!\) ifadeleri sadeleşir:
\[ 8 \times 7 + 7 \]
• Çarpma ve toplama işlemlerini yapalım:
\[ 56 + 7 = 63 \]

• Öncelikle kelimedeki toplam harf sayısını bulalım: "KİTAPLIK" kelimesi 7 harflidir.
• Şimdi her harfin kaç kez tekrar ettiğini belirleyelim:
• K harfi: 2 kez
• İ harfi: 1 kez
• T harfi: 1 kez
• A harfi: 1 kez
• P harfi: 1 kez
• L harfi: 1 kez
• Tekrarlı permütasyon formülü: \( \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!} \) dir. Burada \(n\) toplam harf sayısı, \(n_i\) ise tekrar eden harflerin sayısıdır.
• Formülü uygulayalım:
\[ \frac{7!}{2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!} \]
• Faktöriyel değerlerini hesaplayalım:
• \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\)
• \(2! = 2 \times 1 = 2\)
• Diğer \(1!\) değerleri 1'dir.
• Şimdi yerine koyalım ve hesaplayalım:
\[ \frac{5040}{2} = 2520 \]

• Toplam öğrenci sayısı \(n = 8\).
• Seçilecek öğrenci sayısı (pozisyon sayısı) \(r = 3\).
• Permütasyon formülü \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) şeklindedir.
• Formülü uygulayalım:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} \]
• Faktöriyel değerlerini açalım:
\[ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} \]
• Pay ve paydadaki \(5!\) ifadeleri sadeleşir:
\[ 8 \times 7 \times 6 \]
• Çarpma işlemini yapalım:
\[ 56 \times 6 = 336 \]

• Toplam kurabiye çeşidi sayısı \(n = 6\).
• Seçilecek kurabiye çeşidi sayısı \(r = 2\).
• Kombinasyon formülü \(C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) şeklindedir.
• Formülü uygulayalım:
\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} \]
• Faktöriyel değerlerini açalım:
\[ \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} \]
• Pay ve paydadaki \(4!\) ifadeleri sadeleşir:
\[ \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \]
• Çarpma ve bölme işlemlerini yapalım:
\[ \frac{30}{2} = 15 \]

• Öncelikle 5 erkek öğrenci arasından 2 erkek seçimi yapalım:
\[ C(5, 2) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{20}{2} = 10 \]
• Şimdi 4 kız öğrenci arasından 2 kız seçimi yapalım:
\[ C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{12}{2} = 6 \]
• Komite hem erkek hem de kız öğrencilerden oluşacağı için, bu iki seçimin sonuçlarını çarparız:
\[ 10 \times 6 = 60 \]

• PIN kodu 4 haneli olacak.
• Rakamlar farklı olacak (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere toplam 10 rakam var).
• İlk hane sıfır olamaz.

Her bir hane için seçenekleri belirleyelim:

• Birinci hane: Sıfır olamayacağı için 1, 2, ..., 9 olmak üzere 9 seçeneğimiz var.
• İkinci hane: Rakamlar farklı olmalı. İlk hanede kullandığımız bir rakam var. Geriye 9 rakam kalır (sıfır artık kullanılabilir). Örneğin, ilk haneye 1 yazdık. Kalan rakamlar {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Yani 9 seçeneğimiz var.
• Üçüncü hane: İlk iki hanede farklı iki rakam kullandık. Geriye 8 rakam kalır. Yani 8 seçeneğimiz var.
• Dördüncü hane: İlk üç hanede farklı üç rakam kullandık. Geriye 7 rakam kalır. Yani 7 seçeneğimiz var.

Toplam farklı PIN kodu sayısını bulmak için bu seçenekleri çarpalım:

• Öncelikle karakterin temel özelliklerini (saç, göz, kıyafet) belirleyelim. Bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için çarpma prensibini kullanırız:
• Saç modeli seçeneği: 3
• Göz rengi seçeneği: 4
• Kıyafet seçeneği: 2
• Temel özellikler için toplam seçenek sayısı: \(3 \times 4 \times 2 = 24\)
• Şimdi aksesuar seçimlerini hesaplayalım. Oyuncular 4 farklı aksesuar (şapka, gözlük, kolye, yüzük) arasından 2 farklı aksesuar ekleyebilirler. Bu bir seçim (sıralama önemli değil) olduğu için kombinasyon kullanırız:
\[ C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{12}{2} = 6 \]
• Yani, aksesuarlar için 6 farklı seçim yapılabilir.
• Toplam farklı karakter sayısını bulmak için temel özellik seçenekleri ile aksesuar seçeneklerini çarparız, çünkü her temel karakter kombinasyonuna her aksesuar kombinasyonu eklenebilir:
\[ 24 \times 6 = 144 \]