Sayma Sayıları Ders Notu

Sayma sayıları, günlük hayatta nesneleri saymak için kullandığımız pozitif tam sayılardır. Matematiksel olarak, Sayma Sayıları kümesi \(N^+\) veya \(Z^+\) ile gösterilir ve elemanları \( \{1, 2, 3, ...\} \) şeklindedir.

Sayma Yöntemleri 🔢

Bir olayın kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini bulmak için farklı sayma yöntemleri kullanılır.

1. Toplama Yoluyla Sayma

A ve B olayları ayrık (aynı anda gerçekleşmeyen) iki olay olsun. A olayı \(m\) farklı şekilde ve B olayı \(n\) farklı şekilde gerçekleşiyorsa, A veya B olayı \(m+n\) farklı şekilde gerçekleşir.

• Örnek: Bir dolapta 4 farklı gömlek ve 3 farklı pantolon vardır. Bu dolaptan bir gömlek veya bir pantolon kaç farklı şekilde seçilebilir?
• Çözüm: Gömlek seçimi 4 farklı şekilde, pantolon seçimi 3 farklı şekilde yapılabilir. Toplama yoluyla sayma prensibine göre \(4+3=7\) farklı şekilde seçim yapılabilir.

2. Çarpma Yoluyla Sayma

A olayı \(m\) farklı şekilde ve A olayına bağlı olarak B olayı \(n\) farklı şekilde gerçekleşiyorsa, A ve B olayları birlikte \(m \times n\) farklı şekilde gerçekleşir.

• Örnek: Bir menüde 3 farklı ana yemek ve 2 farklı tatlı bulunmaktadır. Bir ana yemek ve bir tatlı kaç farklı şekilde seçilebilir?
• Çözüm: Ana yemek seçimi 3 farklı şekilde, tatlı seçimi 2 farklı şekilde yapılabilir. Çarpma yoluyla sayma prensibine göre \(3 \times 2=6\) farklı şekilde seçim yapılabilir.

3. Faktöriyel (!)

1'den \(n\)'ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına \(n\) faktöriyel denir ve \(n!\) şeklinde gösterilir.

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \]

• Önemli Notlar:
• \(1! = 1\)
• \(0! = 1\) (Tanım gereği)
• Örnek: \(4!\) değeri kaçtır?
• Çözüm: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

4. Permütasyon (Sıralama)

\(n\) farklı elemanın \(r\) tanesinin farklı sıralanışlarına permütasyon denir. Sıralama önemli olduğunda permütasyon kullanılır. \(P(n, r)\) veya \(P_n^r\) ile gösterilir.

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

• Örnek: 5 farklı kitaptan 3 tanesi bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
• Çözüm: Burada \(n=5\) ve \(r=3\)'tür.
• \[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
• Yani 60 farklı şekilde sıralanabilir.

5. Kombinasyon (Seçme)

\(n\) farklı elemandan \(r\) tanesinin seçimine kombinasyon denir. Seçim önemli olduğunda (sıralama önemli olmadığında) kombinasyon kullanılır. \(C(n, r)\), \(C_n^r\) veya \( binom{n}{r}\) ile gösterilir.

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

• Önemli Notlar:
• \(C(n, 0) = 1\)
• \(C(n, n) = 1\)
• \(C(n, 1) = n\)
• \(C(n, r) = C(n, n-r)\)
• Örnek: 7 kişilik bir sınıftan 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir?
• Çözüm: Burada \(n=7\) ve \(r=3\)'tür.
• \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
• Yani 35 farklı şekilde ekip seçilebilir.

6. Binom Açılımı ➕➖

\((x+y)^n\) şeklindeki ifadelerin kuvvetlerinin açılımına binom açılımı denir. Burada \(n\) bir doğal sayıdır.

\[ (x+y)^n = binom{n}{0}x^n y^0 + binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + ... + binom{n}{n}x^0 y^n \]

Binom açılımındaki katsayılar Pascal Üçgeni ile de bulunabilir.

Pascal Üçgeni

Pascal Üçgeni, binom açılımındaki katsayıları veren üçgensel bir sayılar dizisidir.

n=0:         1
n=1:        1 1
n=2:       1 2 1
n=3:      1 3 3 1
n=4:     1 4 6 4 1

• Her satır 1 ile başlar ve 1 ile biter.
• Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır.

Binom Teoremi Özellikleri

• \((x+y)^n\) açılımında \(n+1\) tane terim vardır.
• Terimlerdeki \(x\) ve \(y\)'nin üsleri toplamı her zaman \(n\)'ye eşittir.
• Baştan \((r+1)\). terim \(T_{r+1} = binom{n}{r}x^{n-r}y^r\) şeklindedir.
• Sondaki \((r+1)\). terim baştan \((n-r+1)\). terime eşittir.
• Katsayılar toplamını bulmak için \(x=1\) ve \(y=1\) yazılır.

Örnek: \((2x+3)^3\) ifadesinin açılımını yapınız.

Çözüm: \(n=3\) olduğu için Pascal Üçgeni'nin 3. satırındaki katsayılar (1, 3, 3, 1) kullanılır.

\[ (2x+3)^3 = binom{3}{0}(2x)^3 (3)^0 + binom{3}{1}(2x)^2 (3)^1 + binom{3}{2}(2x)^1 (3)^2 + binom{3}{3}(2x)^0 (3)^3 \] \[ = 1 \cdot (8x^3) \cdot 1 + 3 \cdot (4x^2) \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 9 + 1 \cdot 1 \cdot 27 \] \[ = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \]