💡 10. Sınıf Matematik: Sayma algoritması Çözümlü Örnekler

Bu problemde, öğrenci grubunun seçilme sırasının önemli olup olmadığına bakmalıyız.
Seçilen 3 öğrenci arasında sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız.

1. Toplam öğrenci sayısını belirleyelim: * Erkek öğrenci sayısı = 12 * Kız öğrenci sayısı = 10 * Toplam öğrenci sayısı = \( 12 + 10 = 22 \) 2. Kombinasyon formülünü uygulayalım: * \( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) formülü ile bulunur.
* Burada \( n = 22 \) (toplam öğrenci sayısı) ve \( r = 3 \) (seçilecek öğrenci sayısı). 3. Hesaplamayı yapalım: * \( C(22, 3) = \binom{22}{3} = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3!19!} \) * \( \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19!}{3 \times 2 \times 1 \times 19!} \) * \( \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} \) * \( \frac{22 \times 7 \times 10}{1} \) (Sadeleştirme yapıldı: 21/3=7, 20/2=10) * \( 1540 \)
Sonuç olarak, 3 kişilik bir öğrenci grubu 1540 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu soruda, farklı türdeki kitapların kendi içindeki sıralaması ve toplam dizilim sırası önemlidir.
Bu bir permütasyon problemidir çünkü kitapların dizilim sırası farklı sonuçlar doğuracaktır.

1. Toplam kitap sayısını bulalım: * Matematik kitapları = 5 * Fizik kitapları = 3 * Kimya kitapları = 2 * Toplam kitap sayısı = \( 5 + 3 + 2 = 10 \) 2. Permütasyon formülünü uygulayalım: * \( n \) farklı nesnenin \( n \) farklı pozisyona sıralanma sayısı \( P(n, n) = n! \) formülü ile bulunur.
* Burada \( n = 10 \) (toplam kitap sayısı). 3. Hesaplamayı yapalım: * \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) * \( 10! = 3,628,800 \)
Kitaplar rafa 3,628,800 farklı şekilde dizilebilir. 📚

Bu soruda, belirli bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplayacağız.
Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

1. Tüm olası durumların sayısını bulalım: * Torbadaki toplam bilye sayısı = \( 4 \text{ (mavi)} + 3 \text{ (kırmızı)} + 2 \text{ (yeşil)} = 9 \) bilye.
* Tüm durum sayısı = 9. 2. İstenen durumların sayısını bulalım: * İstenen durum: Bilyenin kırmızı veya yeşil olması.
* Kırmızı bilye sayısı = 3 * Yeşil bilye sayısı = 2 * Kırmızı veya yeşil bilye sayısı = \( 3 + 2 = 5 \) 3. Olasılık formülünü uygulayalım: * Olasılık \( P(A) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} \) * \( P(\text{kırmızı veya yeşil}) = \frac{5}{9} \)
Torbadan çekilen bir bilyenin kırmızı veya yeşil olma olasılığı 5/9'dur. 🍀

Bu problem, temel sayma prensiplerinden biri olan çarpma kuralı ile çözülür.
Çarpma kuralı, ardışık iki olayın gerçekleşme sayılarının çarpımının, bu iki olayın birlikte gerçekleşme sayısını vermesi prensibine dayanır.

1. Seçenekleri belirleyelim: * Pasta seçeneği sayısı = 5 * Meşrubat seçeneği sayısı = 4 2. Çarpma kuralını uygulayalım: * Toplam menü seçeneği sayısı = (Pasta seçeneği sayısı) \( \times \) (Meşrubat seçeneği sayısı) * Toplam menü seçeneği sayısı = \( 5 \times 4 = 20 \)
Müşteri, bir pasta ve bir meşrubattan oluşan bir menüyü 20 farklı şekilde seçebilir. 🍰🥤

Bu soruda, belirli rakamları kullanarak oluşturulabilecek farklı sayıları sayacağız.
Rakamların tekrar etmemesi gerektiği için bu bir permütasyon problemidir.

1. Basamakları ve seçenekleri belirleyelim: * 3 basamaklı sayı yazacağız. Bu, 3 pozisyonumuz olduğu anlamına gelir: Yüzler, Onlar, Birler basamağı. * Kullanabileceğimiz rakamlar: {1, 2, 3, 4}. Toplam 4 farklı rakam var. 2. Permütasyon mantığını uygulayalım: Yüzler basamağı için:* 4 farklı rakamdan birini seçebiliriz. (4 seçenek) Onlar basamağı için:* Yüzler basamağında kullanılan rakam dışındaki 3 rakamdan birini seçebiliriz. (3 seçenek) Birler basamağı için:* İlk iki basamakta kullanılan rakamlar dışındaki 2 rakamdan birini seçebiliriz. (2 seçenek) 3. Çarpma kuralını uygulayalım: * Yazılabilecek farklı 3 basamaklı sayı adedi = (Yüzler basamağı seçenekleri) \( \times \) (Onlar basamağı seçenekleri) \( \times \) (Birler basamağı seçenekleri) * Sayı adedi = \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
Bu rakamlarla 24 farklı 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir. 🔢

Bu problemde, bir kümenin belirli sayıda elemana sahip alt kümelerinin sayısını bulacağız.
Alt küme oluştururken elemanların sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız.

1. Kümenin eleman sayısını ve alt kümenin eleman sayısını belirleyelim: * A kümesinin eleman sayısı \( n = 5 \) (a, b, c, d, e). * Alt kümelerin eleman sayısı \( r = 3 \). 2. Kombinasyon formülünü uygulayalım: * \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) * Burada \( n = 5 \) ve \( r = 3 \). 3. Hesaplamayı yapalım: * \( C(5, 3) = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \) * \( \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} \) * \( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \) * \( \frac{20}{2} = 10 \)
A kümesinin 3 elemanlı 10 farklı alt kümesi vardır. 📝

Bu soruda, iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplayacağız.
Bağımsız olaylarda, bir olayın diğerini etkilememesi durumunda olasılıklar çarpılır.

1. Zarın tek sayı gelme olasılığını hesaplayalım: * Bir zarın olası sonuçları: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Toplam 6 durum) * Tek sayılar: {1, 3, 5} (3 durum) * Zarın tek sayı gelme olasılığı \( P(\text{tek}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). 2. Paranın tura gelme olasılığını hesaplayalım: * Bir madeni paranın olası sonuçları: {Yazı, Tura} (Toplam 2 durum) * Tura gelme durumu: {Tura} (1 durum) * Paranın tura gelme olasılığı \( P(\text{tura}) = \frac{1}{2} \). 3. İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplayalım: * İki olay bağımsız olduğu için olasılıkları çarpılır. * \( P(\text{tek ve tura}) = P(\text{tek}) \times P(\text{tura}) \) * \( P(\text{tek ve tura}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Zarın tek sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olaylarının ikisinin birden gerçekleşme olasılığı 1/4'tür. 🎲🪙

Bu problem, temel sayma prensiplerinden çarpma kuralı kullanılarak çözülür.
Farklı özelliklere sahip seçeneklerin bir araya gelerek oluşturduğu toplam farklı kombinasyon sayısını bulmak için çarpma kuralı kullanılır.

1. Seçenekleri belirleyelim: * Tişört renk sayısı = 3 * Her renkteki tişörtün beden sayısı = 4 2. Çarpma kuralını uygulayalım: * Toplam farklı tişört seçeneği sayısı = (Renk sayısı) \( \times \) (Beden sayısı) * Toplam seçenek sayısı = \( 3 \times 4 = 12 \)
Müşteri, bir tişörtü 12 farklı şekilde seçebilir. 👕