Sayma algoritması Ders Notu

10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritması 🔢

Bu bölümde, farklı durumları saymak için kullanacağımız temel sayma prensiplerini öğreneceğiz. Bu prensipler, olasılık ve kombinatorik gibi daha ileri matematik konularının temelini oluşturur.

Toplama Kuralı ➕

Ayrık iki olayın (yani aynı anda gerçekleşemeyen olayların) farklı şekillerde gerçekleşebileceği durumların toplam sayısı, bu olayların tek tek gerçekleşebileceği durum sayılarının toplamına eşittir.

Eğer bir olay A farklı şekilde, B olayı ise C farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa ve A ile B olayları aynı anda gerçekleşemiyorsa, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme sayısı \( A + C \) olur.

Örnek 1: 🍎🍊

Bir manavda 5 farklı çeşit elma ve 3 farklı çeşit portakal bulunmaktadır. Bir müşteri sadece bir adet meyve almak istediğine göre, kaç farklı seçim yapabilir?

• Elma seçme durumu: 5
• Portakal seçme durumu: 3
• Bu iki durum ayrık olduğu için (hem elma hem de portakal aynı anda seçilemez), toplam seçim sayısı: \( 5 + 3 = 8 \) olur.

Çarpma Kuralı ✖️

Bir işin ardışık olarak birden fazla aşaması varsa ve her aşama belirli sayıda farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, bu işin tamamının gerçekleşme sayısı, her aşamadaki farklı seçenek sayılarının çarpımına eşittir.

Eğer bir işin birinci aşaması \( A \) farklı şekilde, ikinci aşaması \( C \) farklı şekilde ve üçüncü aşaması \( E \) farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, bu işin tamamının gerçekleşme sayısı \( A \times C \times E \) olur.

Örnek 2: 👕👖

Bir öğrencinin 3 farklı gömleği ve 2 farklı pantolonu vardır. Bu öğrenci bir gömlek ve bir pantolon seçerek kaç farklı şekilde giyinebilir?

• Gömlek seçme durumu: 3
• Pantolon seçme durumu: 2
• Bu iki seçim ardışık olduğu için (gömlek seçildikten sonra pantolon seçilir), toplam giyinme sayısı: \( 3 \times 2 = 6 \) olur.

Örnek 3: 🚗🛣️

Ankara'dan B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine ise 4 farklı yol bulunmaktadır. Ankara'dan C kentine, B kenti üzerinden kaç farklı şekilde gidilebilir?

• Ankara'dan B kentine gidiş yolları: 3
• B kentinden C kentine gidiş yolları: 4
• Bu yolculuk ardışık aşamalardan oluştuğu için, toplam farklı gidiş sayısı: \( 3 \times 4 = 12 \) olur.

Permütasyon (Sıralama) 🔀

Belirli bir nesne kümesinden, seçilen nesnelerin sırasının önemli olduğu durumları saymak için permütasyon kullanılır. \( n \) farklı nesne arasından \( r \) tanesinin \( r \) li permütasyonlarının sayısı \( P(n, r) \) ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Burada \( n! \) (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır (\( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \)).

Örnek 4: 🥇🥈🥉

8 atletin katıldığı bir yarışta ilk 3 dereceye girecek atlet kaç farklı şekilde sıralanabilir?

• Burada \( n=8 \) (toplam atlet sayısı) ve \( r=3 \) (dereceye girecek atlet sayısı)
• Permütasyon formülünü kullanarak: \[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336 \]
• Yani ilk 3 dereceye girecek atletler 336 farklı şekilde sıralanabilir.

Örnek 5: 🔑🔢

Rakamları farklı 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

• Bu problemde, 3 basamaklı sayının basamaklarına rakamları yerleştirirken sıranın önemli olduğunu görüyoruz.
• Yüzler basamağı için 9 seçenek vardır (0 hariç).
• Onlar basamağı için ilk seçilen rakam hariç 9 seçenek kalır.
• Birler basamağı için ilk iki seçilen rakam hariç 8 seçenek kalır.
• Toplam sayı: \( 9 \times 9 \times 8 = 648 \)
• Alternatif olarak, permütasyon ile de çözülebilir: 10 rakamdan 3'ünü seçip sıralama \( P(10,3) \) olarak düşünülebilir ancak bu 0 ile başlayan sayıları da içerir. Bu nedenle yukarıdaki gibi basamak basamak ilerlemek daha doğrudur.

Kombinasyon (Seçme) 🧺

Belirli bir nesne kümesinden, seçilen nesnelerin sırasının önemli olmadığı durumları saymak için kombinasyon kullanılır. \( n \) farklı nesne arasından \( r \) tanesinin \( r \) li kombinasyonlarının sayısı \( C(n, r) \) veya \( \binom{n}{r} \) ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

\[ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Örnek 6: 🤝

5 kişilik bir gruptan, 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

• Burada \( n=5 \) (grup büyüklüğü) ve \( r=2 \) (komite üye sayısı)
• Kombinasyon formülünü kullanarak: \[ C(5, 2) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} \] \[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \]
• Yani 5 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite 10 farklı şekilde seçilebilir.

Örnek 7: 🍕🌶️🍄

Bir pizzacıda 7 farklı malzeme bulunmaktadır. Müşteri, bu malzemelerden 3 tanesini seçerek pizza yaptırmak istiyor. Kaç farklı pizza seçeneği vardır?

• Malzeme seçimi sırasız olduğu için kombinasyon kullanılır.
• \( n=7 \) (toplam malzeme sayısı), \( r=3 \) (seçilecek malzeme sayısı)
• \[ C(7, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{(3 \times 2 \times 1) \times 4! } \] \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]
• Yani 35 farklı pizza seçeneği vardır.