🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3} \]
\[ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3} \]
Çözüm:
✅ Bu tür rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yaparken, öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir. Paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
- 4, 6 ve 3 sayılarının EKOK'u 12'dir.
- Her bir kesri paydası 12 olacak şekilde genişletelim:
- \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
- \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)
- \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
- Şimdi işlemleri yapalım:
- \[ \frac{9}{12} + \frac{2}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9 + 2 - 8}{12} = \frac{11 - 8}{12} = \frac{3}{12} \]
- Sonucu sadeleştirelim:
- \[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
Örnek 2:
👉 Aşağıdaki çarpma ve bölme işlemlerini sırasıyla yaparak sonucu bulunuz:
\[ \left( \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} \right) \div \frac{2}{3} \]
\[ \left( \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} \right) \div \frac{2}{3} \]
Çözüm:
✅ Rasyonel sayılarda işlemlerin sırasına dikkat ederek çözelim. Önce parantez içindeki çarpma işlemini yapmalıyız.
- Adım 1: Parantez içindeki çarpma işlemini yapalım. Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sadeleştirme varsa önce yapabiliriz:
- \[ \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} = \frac{5}{7} \times \frac{2 \times 7}{3 \times 5} \]
- Çapraz sadeleştirmeleri yapalım (5'ler ve 7'ler sadeleşir):
- \[ \frac{\cancel{5}}{\cancel{7}} \times \frac{2 \times \cancel{7}}{3 \times \cancel{5}} = \frac{2}{3} \]
- Adım 2: Şimdi bölme işlemini yapalım. Bölme işleminde birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
- \[ \frac{2}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \]
- Çarpma işlemini yapalım:
- \[ \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} = 1 \]
Örnek 3:
👉 \( x = \frac{1}{2} \), \( y = -\frac{1}{3} \) ve \( z = \frac{3}{4} \) olduğuna göre, \( x - y \cdot z \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
✅ Bu soruda verilen rasyonel sayı değerlerini yerine koyarak işlem önceliğine dikkat ederek çözmeliyiz.
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- \[ \frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot \frac{3}{4} \]
- Adım 1: Çarpma işlemi, çıkarma işleminden önce gelir. Önce çarpma işlemini yapalım:
- \[ \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1 \times 3}{3 \times 4} = -\frac{3}{12} \]
- Sadeleştirelim:
- \[ -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \]
- Adım 2: Şimdi çıkarma işlemini yapalım. İki eksi yan yana geldiğinde artıya dönüşür:
- \[ \frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \]
- Paydaları eşitleyelim (EKOK 4):
- \[ \frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} \]
Örnek 4:
👉 \( 2.3\overline{45} \) devirli ondalık sayısını rasyonel sayıya çeviriniz.
Çözüm:
✅ Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken belirli bir kuralı kullanırız.
- Kural: \( \frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \)
- Verilen sayı: \( 2.3\overline{45} \)
- Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi yokmuş gibi): 2345
- Devretmeyen kısım (virgülden önceki ve devretmeyen sayı): 23
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı (45 devrediyor, yani 2 basamak): 2 tane 9 (\(99\))
- Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı (3 devretmiyor, yani 1 basamak): 1 tane 0 (\(0\))
- Şimdi kuralı uygulayalım:
- \[ \frac{2345 - 23}{990} \]
- Çıkarma işlemini yapalım:
- \[ \frac{2322}{990} \]
- Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 2'ye bölünebilir:
- \[ \frac{2322 \div 2}{990 \div 2} = \frac{1161}{495} \]
- Daha fazla sadeleştirme olup olmadığını kontrol edelim. Rakamları toplamı 3'ün katı ise sayı 3'e bölünür.
- \( 1+1+6+1=9 \) (3'e bölünür)
- \( 4+9+5=18 \) (3'e bölünür)
- \[ \frac{1161 \div 3}{495 \div 3} = \frac{387}{165} \]
- Tekrar 3'e bölünebilirler mi bakalım:
- \( 3+8+7=18 \) (3'e bölünür)
- \( 1+6+5=12 \) (3'e bölünür)
- \[ \frac{387 \div 3}{165 \div 3} = \frac{129}{55} \]
Örnek 5:
👉 Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\[ a = \frac{7}{8}, \quad b = \frac{11}{12}, \quad c = \frac{5}{6} \]
\[ a = \frac{7}{8}, \quad b = \frac{11}{12}, \quad c = \frac{5}{6} \]
Çözüm:
✅ Rasyonel sayıları sıralarken genellikle paydaları eşitlemek veya payları eşitlemek gibi yöntemler kullanırız. Bazen de yarıma veya bütüne yakınlıklarını karşılaştırabiliriz. Burada paydaları eşitlemek en uygun yöntemdir.
- 8, 12 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. EKOK(8, 12, 6) = 24'tür.
- Her bir kesri paydası 24 olacak şekilde genişletelim:
- \( a = \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} \)
- \( b = \frac{11}{12} = \frac{11 \times 2}{12 \times 2} = \frac{22}{24} \)
- \( c = \frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} \)
- Şimdi paydaları eşit olan kesirleri paylarına göre sıralayabiliriz. Payı küçük olan kesir daha küçüktür.
- \( \frac{20}{24} < \frac{21}{24} < \frac{22}{24} \)
- Bu da \( c < a < b \) anlamına gelir.
Örnek 6:
👉 Aşağıdaki merdivenli işlemin sonucunu bulunuz:
\[ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} \]
\[ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} \]
Çözüm:
✅ Bu tür merdivenli (karmaşık) rasyonel sayı problemlerini çözerken, en alttan başlayarak adım adım yukarıya doğru ilerlememiz gerekir.
- Adım 1: En alttaki işlemi yapalım:
- \( 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
- Adım 2: Şimdi bir üst katmana geçelim. Paydadaki ifade \( \frac{3}{2} \) oldu.
- \( \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} \)
- Bir sayıyı kesre bölmek, o sayıyı kesrin tersiyle çarpmak demektir:
- \( 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \)
- Adım 3: Şimdi bir üst katmana geçelim. Paydadaki ifade \( \frac{2}{3} \) oldu.
- \( 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} \)
- Paydadaki toplama işlemini yapalım:
- \( 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \)
- Adım 4: Şimdi son katmana geçelim. Paydadaki ifade \( \frac{5}{3} \) oldu.
- \( 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} \)
- Yine bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim:
- \( 1 + \left( 1 \times \frac{3}{5} \right) = 1 + \frac{3}{5} \)
- Son toplama işlemini yapalım:
- \( 1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \)
Örnek 7:
📏 Bir marangoz, elindeki 2 metre uzunluğundaki tahta parçasını kullanarak üç farklı boyutta raf yapmak istiyor. Birinci raf tahtanın \( \frac{1}{4} \)'ü kadar, ikinci raf kalan tahtanın \( \frac{2}{3} \)'ü kadar uzunlukta olacak. Üçüncü raf ise geriye kalan tahta parçasından yapılacaktır. Buna göre, üçüncü rafın uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
✅ Bu problemi adım adım çözerek rasyonel sayılarla problem çözme becerimizi kullanalım.
- Adım 1: Toplam tahta uzunluğu 2 metredir. Birinci raf tahtanın \( \frac{1}{4} \)'ü kadar.
- Birinci rafın uzunluğu: \( 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) metre.
- Adım 2: Birinci raf kesildikten sonra kalan tahta miktarını bulalım.
- Kalan tahta: \( 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) metre.
- Adım 3: İkinci raf, kalan tahtanın \( \frac{2}{3} \)'ü kadar.
- İkinci rafın uzunluğu: \( \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1 \) metre.
- Adım 4: İkinci raf da kesildikten sonra geriye kalan tahta miktarını bulalım. Bu miktar üçüncü rafın uzunluğu olacaktır.
- Geriye kalan (üçüncü raf) tahta: \( \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \) metre.
Örnek 8:
🍞 Ayşe, bir tepsi böreğin \( \frac{3}{5} \)'ini öğle yemeğinde yedi. Akşam yemeğinde ise kalan böreğin \( \frac{1}{2} \)'sini yedi. Buna göre, börek tepsisinin ne kadarlık kısmı kalmıştır?
Çözüm:
✅ Bu problemi günlük hayattan bir senaryo ile rasyonel sayılar kullanarak çözelim.
- Adım 1: Ayşe öğle yemeğinde böreğin \( \frac{3}{5} \)'ini yemiş. Tepsinin tamamını 1 bütün olarak düşünelim.
- Öğle yemeğinden sonra kalan börek miktarı: \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \)
- Adım 2: Akşam yemeğinde ise kalan böreğin \( \frac{1}{2} \)'sini yemiş. Kalan börek \( \frac{2}{5} \) idi.
- Akşam yemeğinde yediği börek miktarı: \( \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
- Adım 3: Toplamda ne kadar börek kaldığını bulmak için, öğle yemeğinden sonra kalan miktardan akşam yemeğinde yediği miktarı çıkaralım.
- Toplam kalan börek: \( \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-sayilar/sorular