Rasyonel Sayılar Ders Notu

Rasyonel sayılar, matematikte tam sayıların birbiriyle oranını ifade eden, yani \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada \( a \) bir tam sayı, \( b \) ise sıfırdan farklı bir tam sayı olmalıdır. Rasyonel sayılar kümesi genellikle \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir:

• Sayı, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilmelidir.
• \( a \) ve \( b \) birer tam sayı olmalıdır (yani \( a \in \mathbb{Z} \) ve \( b \in \mathbb{Z} \)).
• Payda olan \( b \) sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (yani \( b \neq 0 \)).

Örnekler:

• \( \frac{3}{4} \) bir rasyonel sayıdır. (\( a=3, b=4 \))
• \( - \frac{2}{5} \) bir rasyonel sayıdır. (\( a=-2, b=5 \))
• \( 7 \) bir rasyonel sayıdır, çünkü \( \frac{7}{1} \) şeklinde yazılabilir.
• \( 0 \) bir rasyonel sayıdır, çünkü \( \frac{0}{1} \) şeklinde yazılabilir.
• \( 0.25 \) bir rasyonel sayıdır, çünkü \( \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \) şeklinde yazılabilir.

Rasyonel Sayıların Özellikleri 💡

Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini de kapsar. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

• Yoğunluk Özelliği: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta başka rasyonel sayı bulunur.
• Sonsuzluk: Rasyonel sayılar kümesi sonsuz elemanlıdır.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ➕➖✖️➗

1. Toplama ve Çıkarma İşlemi

Rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, eşitlenir.

• Paydalar Eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır. \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \] \[ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \] Örnek: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \)
• Paydalar Farklıysa: Paydalar, en küçük ortak katta (EKOK) eşitlenir.

  Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)

  2 ve 3'ün EKOK'u 6'dır. İlk kesri 3 ile, ikinci kesri 2 ile genişletiriz.

  \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \]

2. Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

Örnek:

• \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)
• \( 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4} \)

3. Bölme İşlemi

Rasyonel sayılar bölünürken, birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek birinci kesirle çarpılır.

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Örnek:

• \( \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8} \)
• \( \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \div \frac{3}{1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \)

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi 🔢

Bir rasyonel sayı, payın paydaya bölünmesiyle ondalık sayı olarak ifade edilebilir. Bu ondalık gösterimler ya sonlu ya da devirli olur.

1. Sonlu Ondalık Sayılar

Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti şeklinde yazılabilen rasyonel sayılar, sonlu ondalık sayılar olarak ifade edilir.

Örnekler:

• \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5 \)
• \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0.75 \)
• \( \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0.35 \)

2. Devirli Ondalık Sayılar

Paydası 10'un kuvveti şeklinde yazılamayan ve bölme işlemi sonucunda belirli bir rakam grubunun tekrar ettiği ondalık sayılara devirli ondalık sayılar denir. Tekrar eden kısım üzerine çizgi konularak gösterilir.

Örnekler:

• \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \)
• \( \frac{2}{11} = 0.181818... = 0.\overline{18} \)
• \( \frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8\overline{3} \)

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme 🔄

Devirli bir ondalık sayıyı \( \frac{a}{b} \) şeklinde rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formül kullanılır:

\[ \text{Devirli Ondalık Sayı} = \frac{\text{Sayının tamamı (virgül yokmuş gibi) - Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \]

Örnekler:

• \( 0.\overline{3} \): \[ \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
• \( 0.\overline{18} \): \[ \frac{18 - 0}{99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11} \]
• \( 0.8\overline{3} \): \[ \frac{83 - 8}{90} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \]
• \( 2.1\overline{45} \): \[ \frac{2145 - 21}{990} = \frac{2124}{990} = \frac{354}{165} \]