💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar, Kareköklü Sayılar Ve Doğrusal Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

• 👉 Adım 1: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım.

Paydaları eşitleyelim: \( \frac{5}{3} - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{10}{6} - \frac{1}{6} = \frac{10-1}{6} = \frac{9}{6} \)

Sadeleştirelim: \( \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)

• 👉 Adım 2: Şimdi çarpma işlemini yapalım.

İfade şu hale geldi: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \)

Çarpma işlemi: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \)

• 👉 Adım 3: Son olarak toplama işlemini yapalım.

İfade şu hale geldi: \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \)

Toplama işlemi: \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} \)

• ✅ Adım 4: Sonucu sadeleştirelim.

\( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Sonuç: \( \frac{3}{2} \)

• 👉 Adım 1: \( 0.\overline{4} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.

\( 0.\overline{4} = \frac{4-0}{9} = \frac{4}{9} \)

• 👉 Adım 2: \( 1.\overline{2} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.

\( 1.\overline{2} = \frac{12-1}{9} = \frac{11}{9} \)

• 👉 Adım 3: Şimdi toplama işlemini yapalım.

\( \frac{4}{9} + \frac{11}{9} = \frac{4+11}{9} = \frac{15}{9} \)

• ✅ Adım 4: Sonucu sadeleştirelim.

\( \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \)

Sonuç: \( \frac{5}{3} \)

• 👉 Adım 1: \( \sqrt{75} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.

\( 75 = 25 \cdot 3 \) olduğundan, \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

• 👉 Adım 2: \( \sqrt{12} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.

\( 12 = 4 \cdot 3 \) olduğundan, \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

• 👉 Adım 3: \( \sqrt{27} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.

\( 27 = 9 \cdot 3 \) olduğundan, \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

• 👉 Adım 4: Şimdi toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.

İfade şu hale geldi: \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \)

Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: \( (5 - 2 + 3)\sqrt{3} = (3 + 3)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)

Sonuç: \( 6\sqrt{3} \)

• 👉 Adım 1: Çarpma işlemini kök içinde yapalım.

\( \sqrt{48} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{48 \cdot 18} \)

\( 48 \cdot 18 = 864 \)

Yani, ifade \( \frac{\sqrt{864}}{\sqrt{24}} \) haline gelir.

• 👉 Adım 2: Bölme işlemini kök içinde yapalım.

\( \frac{\sqrt{864}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{864}{24}} \)

\( \frac{864}{24} = 36 \)

• ✅ Adım 3: Sonucu bulalım.

\( \sqrt{36} = 6 \)

Alternatif Çözüm (Daha Pratik Olabilir): Önce her köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazıp sadeleştirelim.

• 👉 Adım 1: İfadeleri \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.

\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \)

\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)

\( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \)

• 👉 Adım 2: İfadeyi yerine yazıp çarpma ve bölme yapalım.

\[ \frac{4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} \]

• ✅ Adım 3: Sadeleştirelim.

\[ \frac{12\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{12}{2} = 6 \]

Sonuç: \( 6 \)

• 👉 Adım 1: \( f(2) \) değerini bulalım.

Fonksiyonda \( x \) yerine \( 2 \) yazarak \( f(2) \) değerini hesaplarız.

\( f(2) = 3 \cdot (2) - 5 \)

\( f(2) = 6 - 5 \)

\( f(2) = 1 \)

• 👉 Adım 2: Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulalım.

Bir fonksiyonun grafiği y eksenini kestiğinde, bu noktada \( x \) değeri \( 0 \) olur. Yani \( f(0) \) değerini bulmalıyız.

\( f(0) = 3 \cdot (0) - 5 \)

\( f(0) = 0 - 5 \)

\( f(0) = -5 \)

Dolayısıyla, grafiğin y eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (0, -5) \) dir.

Sonuç: \( f(2) = 1 \) ve y eksenini kestiği nokta \( (0, -5) \). ✅

• 👉 Adım 1: Doğrunun eğimini \( m \) bulalım.

İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) ise eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülüyle bulunur.

Burada \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (-1, -1) \) dir.

\( m = \frac{-1 - 5}{-1 - 2} \)

\( m = \frac{-6}{-3} \)

\( m = 2 \)

• 👉 Adım 2: Doğrunun denklemini bulalım.

Eğimi \( m \) ve bir noktası \( (x_1, y_1) \) bilinen doğrunun denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülüyle bulunur.

Eğim \( m=2 \) ve A noktası \( (2, 5) \) kullanarak denklemi yazalım:

\( y - 5 = 2(x - 2) \)

\( y - 5 = 2x - 4 \)

\( y = 2x - 4 + 5 \)

\( y = 2x + 1 \)

Sonuç: Doğrunun eğimi \( m=2 \) ve denklemi \( y = 2x + 1 \). ✅

• 👉 Adım 1: Fonksiyonu tanımlayalım.

Açılış ücreti sabit bir değerdir ve fonksiyonun y-kesenini (\( n \)) temsil eder. Bu durumda \( n = 15 \) TL.

Her kilometre için ödenen ücret değişken bir değerdir ve fonksiyonun eğimini (\( m \)) temsil eder. Bu durumda \( m = 8 \) TL/km.

Doğrusal fonksiyon genel olarak \( f(x) = mx + n \) şeklinde olduğundan, fonksiyonumuz:

\( f(x) = 8x + 15 \)

• 👉 Adım 2: 12 kilometrelik yolculuk için ücreti hesaplayalım.

\( x = 12 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak \( f(12) \) değerini buluruz.

\( f(12) = 8 \cdot (12) + 15 \)

\( f(12) = 96 + 15 \)

\( f(12) = 111 \)

Sonuç: Ödenecek toplam ücreti gösteren fonksiyon \( f(x) = 8x + 15 \) ve 12 kilometrelik bir yolculuk için 111 TL ücret ödenir. ✅

• 👉 Adım 1: Kenar uzunluklarını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazarak sadeleştirelim.

Birinci kenar: \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) cm

İkinci kenar: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \) cm

• 👉 Adım 2: Elde edilebilecek en büyük eş kare parçaların bir kenar uzunluğunu bulalım.

Bu, \( 8\sqrt{2} \) ve \( 6\sqrt{2} \) sayılarının EBOB'u olacaktır. Kareköklü sayılarda EBOB bulurken, kök içleri aynıysa katsayıların EBOB'unu alırız ve yanına köklü ifadeyi yazarız.

\( \text{EBOB}(8, 6) = 2 \)

Dolayısıyla, \( \text{EBOB}(8\sqrt{2}, 6\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \) cm olur.

Bu, elde edilebilecek en büyük kare parçaların bir kenar uzunluğudur.

Sonuç: Elde edilebilecek en büyük eş kare parçaların bir kenar uzunluğu \( 2\sqrt{2} \) cm'dir. ✅