Rasyonel Sayılar, Kareköklü Sayılar Ve Doğrusal Fonksiyonlar Ders Notu

Bu ders notu, 10. Sınıf Matematik müfredatında yer alan Rasyonel Sayılar, Kareköklü Sayılar ve Doğrusal Fonksiyonlar konularını kapsamaktadır. Konular, Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) müfredatına uygun olarak, öğrencilerin bu seviyedeki bilgi ve becerilerini geliştirecek şekilde hazırlanmıştır.

Rasyonel Sayılar ve Özellikleri 🔢

Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) ile gösterilir ve \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur. Burada \( a \) bir tam sayı, \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayıdır.

Tanım: \( a \in \mathbb{Z} \) ve \( b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Rasyonel Sayılarda İşlemler

• Toplama ve Çıkarma: Paydalar eşit ise paylar toplanır/çıkarılır. Paydalar farklı ise paydalar eşitlenir. \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \] \[ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \]
• Çarpma: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]
• Bölme: Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilip çarpılır. \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Her rasyonel sayı bir ondalık sayı olarak ifade edilebilir. Bu ondalık gösterim ya sonlu (biten) ya da devirli (tekrarlayan) olur.

• Sonlu Ondalık Gösterim: Paydası 10'un kuvveti şeklinde yazılabilen rasyonel sayılardır.

  Örnek: \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0.75 \)

• Devirli Ondalık Gösterim: Ondalık kısmında belirli bir rakam grubunun sonsuz kez tekrar ettiği sayılardır.

  Örnek: \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \)

Devirli bir ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirme kuralı:

\[ \text{Sayı} = \frac{\text{Tüm sayı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \]

Örnek: \( 1.2\overline{3} = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \)

Kareköklü Sayılar ve Gerçek Sayılar \textbf{ \(\sqrt{}}

Kareköklü sayılar, bir sayının karesi alındığında elde edilen sayıyı bulma işlemidir. Sayının karekökü, o sayının hangi sayının karesi olduğunu gösterir.

Tanım: \( x \ge 0 \) olmak üzere, karesi \( x \) olan pozitif sayıya \( x \)'in karekökü denir ve \( \sqrt{x} \) şeklinde gösterilir. \( \sqrt{x} \ge 0 \) olmalıdır.

Örnek: \( \sqrt{25} = 5 \) çünkü \( 5^2 = 25 \).

Kareköklü Sayıları \( a\sqrt{b} \) Şeklinde Yazma

Karekök içindeki bir sayıyı, bir kısmı kök dışına çıkacak şekilde yazabiliriz.

Örnek: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

Kareköklü Sayılarda İşlemler

• Toplama ve Çıkarma: Kök içleri ve kök dışındaki katsayıları aynı olan kareköklü sayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. \[ a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} \] \[ a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x} \]
• Çarpma: Kök dışları kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır. \[ a\sqrt{x} \times b\sqrt{y} = (a \times b)\sqrt{x \times y} \]
• Bölme: Kök dışları kendi arasında, kök içleri kendi arasında bölünür. \[ \frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b} \sqrt{\frac{x}{y}} \]

Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)

Paydasında kareköklü ifade bulunan kesirlerde, paydayı kökten kurtarmak için payda ile eşleniği çarpılır. Eşlenik, \( \sqrt{a} \) için \( \sqrt{a} \), \( a+\sqrt{b} \) için \( a-\sqrt{b} \), \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \) için \( \sqrt{a}-\sqrt{b} \) şeklindedir.

Örnek:

\[ \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}) \times (2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \]

Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi \( \mathbb{R} \)

Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) ile irrasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q'} \) nin birleşimi, gerçek (reel) sayılar kümesini \( \mathbb{R} \) oluşturur.

• İrrasyonel Sayılar \( \mathbb{Q'} \): \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamayan, ondalık açılımı devirli olmayan ve sonsuza kadar devam eden sayılardır.

  Örnek: \( \pi \), \( e \), \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \).

Gerçek sayılar kümesi, sayı doğrusunu tamamen doldurur.

Doğrusal Fonksiyonlar 📈

Doğrusal fonksiyonlar, grafiği bir doğru olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar genellikle \( f(x) = ax + b \) veya \( y = ax + b \) şeklinde gösterilir.

Tanım: \( a, b \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) kuralı \( f(x) = ax + b \) şeklinde olan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği, koordinat sisteminde bir doğrudur. Doğruyu çizmek için en az iki noktaya ihtiyaç vardır.

Genellikle eksenleri kestiği noktalar bulunur:

• x-eksenini kestiği nokta: \( y=0 \) alınarak bulunur. \( ax+b=0 \implies x = -\frac{b}{a} \). Nokta: \( (-\frac{b}{a}, 0) \)
• y-eksenini kestiği nokta: \( x=0 \) alınarak bulunur. \( y = a(0)+b \implies y = b \). Nokta: \( (0, b) \)

Eğim (m)

Bir doğrunun eğimi, dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Genellikle \( m \) ile gösterilir.

Eğim, bir doğrunun x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eşittir.

• İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi: \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
• Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi:
  • \( y = ax + b \) şeklindeki bir doğrunun eğimi \( a \)'dır.
  • \( Ax + By + C = 0 \) şeklindeki bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{A}{B} \)'dir.

Önemli Notlar:

• x-eksenine paralel doğruların ( \( y=k \) ) eğimi \( m=0 \)'dır.
• y-eksenine paralel doğruların ( \( x=k \) ) eğimi tanımsızdır.
• Pozitif eğimli doğrular sağa yatıktır.
• Negatif eğimli doğrular sola yatıktır.

Doğrunun Denklemi

• Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Eğimi \( m \) olan ve \( (x_1, y_1) \) noktasından geçen doğrunun denklemi: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
• İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Önce iki noktadan eğim bulunur, sonra eğim ve noktalardan biri kullanılarak yukarıdaki formül uygulanır.