🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{8} \)
\( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{8} \)
Çözüm:
Bu tür rasyonel sayılarla işlemlerde ilk adım, tüm paydaları eşitlemektir. 💡
Sonuç olarak, işlemin sonucu \( \frac{5}{8} \) olarak bulunur. ✅
- Öncelikle paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. 4, 2 ve 8'in EKOK'u 8'dir.
- Her kesri paydayı 8 olacak şekilde genişletelim:
- \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \)
- \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8} \)
- Şimdi işlemi yeniden yazalım ve gerçekleştirelim:
- \( \frac{6}{8} + \frac{4}{8} - \frac{5}{8} \)
- Paydalar eşit olduğu için payları toplayıp çıkarabiliriz:
- \( \frac{6 + 4 - 5}{8} = \frac{10 - 5}{8} = \frac{5}{8} \)
Sonuç olarak, işlemin sonucu \( \frac{5}{8} \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \times \frac{12}{5} \div \frac{2}{5} \]
\[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \times \frac{12}{5} \div \frac{2}{5} \]
Çözüm:
Bu problemde işlem önceliğine dikkat etmemiz gerekiyor. Parantez içindeki işlemden başlayıp, sonra çarpma ve bölmeyi sırasıyla yapacağız. 📌
Bu işlemin sonucu \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur. ✅
- Adım 1: Parantez içindeki işlemi yapalım.
- Paydaları eşitleyelim (3 ve 4'ün EKOK'u 12'dir):
- \( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} \)
- Adım 2: Şimdi ifadeyi yeniden yazalım ve çarpma işlemini yapalım.
- \( \frac{1}{12} \times \frac{12}{5} \div \frac{2}{5} \)
- Çarpma işlemini yapalım:
- \( \frac{1}{12} \times \frac{12}{5} = \frac{1 \times 12}{12 \times 5} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \) (12 ile sadeleştirdik)
- Adım 3: Son olarak bölme işlemini yapalım.
- \( \frac{1}{5} \div \frac{2}{5} \)
- Bölme işlemi, birinci kesri ikinci kesrin tersiyle çarpmak demektir:
- \( \frac{1}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{1 \times 5}{5 \times 2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Bu işlemin sonucu \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur. ✅
Örnek 3:
Devirli ondalık gösterimi \( 2.454545... \) olan sayının rasyonel sayı olarak karşılığı nedir?
Çözüm:
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirmek için belirli bir formül kullanırız. 👉
Devirli ondalık sayının rasyonel karşılığı \( \frac{27}{11} \) şeklindedir. ✅
- Verilen sayı \( 2.454545... \) şeklinde. Burada devreden kısım "45"tir.
- Formül: \( \frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \)
- Sayının tamamı (virgül yokmuş gibi): 245
- Devretmeyen kısım (virgülden önceki ve devretmeyen kısım): 2
- Devreden basamak sayısı: 2 (çünkü "45" iki basamaklı)
- Devretmeyen basamak sayısı (virgülden sonraki devretmeyen kısım): 0
- Şimdi formülü uygulayalım:
- \( \frac{245 - 2}{99} = \frac{243}{99} \)
- Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 243 hem de 99, 9'a bölünebilir:
- \( 243 \div 9 = 27 \)
- \( 99 \div 9 = 11 \)
- Yani \( \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \)
Devirli ondalık sayının rasyonel karşılığı \( \frac{27}{11} \) şeklindedir. ✅
Örnek 4:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75} \)
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75} \)
Çözüm:
Kareköklerle toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için, karekök içindeki ifadelerin aynı olması gerekir. Bunun için karekök içindeki sayıları \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmalıyız. 💡
İşlemin sonucu \( 7\sqrt{3} \) olarak bulunur. ✅
- Adım 1: Her bir kareköklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
- \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
- Yani \( 3\sqrt{12} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
- Yani \( 2\sqrt{27} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
- Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım ve toplama/çıkarma işlemini yapalım.
- \( 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \)
- Karekök içindeki sayılar aynı (\(\sqrt{3}\)) olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
- \( (6 + 6 - 5)\sqrt{3} = (12 - 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)
İşlemin sonucu \( 7\sqrt{3} \) olarak bulunur. ✅
Örnek 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \sqrt{24} \times \sqrt{6} + \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} \]
\[ \sqrt{24} \times \sqrt{6} + \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} \]
Çözüm:
Bu işlemde kareköklerle çarpma ve bölme kurallarını uygulayacağız. Unutmayalım ki \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) ve \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \). 📌
İşlemin sonucu \( 19 \) olarak bulunur. ✅
- Adım 1: Çarpma işlemini yapalım.
- \( \sqrt{24} \times \sqrt{6} = \sqrt{24 \times 6} = \sqrt{144} \)
- \( \sqrt{144} = 12 \) (çünkü \( 12^2 = 144 \))
- Adım 2: Bölme işlemini yapalım.
- \( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} \)
- \( \sqrt{49} = 7 \) (çünkü \( 7^2 = 49 \))
- Adım 3: Son olarak toplama işlemini yapalım.
- Çarpma ve bölme işlemlerinin sonuçlarını toplayalım:
- \( 12 + 7 = 19 \)
İşlemin sonucu \( 19 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 6:
Paydayı rasyonel yaparak aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
\[ \frac{12}{\sqrt{7} - 1} \]
\[ \frac{12}{\sqrt{7} - 1} \]
Çözüm:
Paydayı rasyonel yapmak için, paydada bulunan kareköklü ifadenin eşleniğiyle hem payı hem de paydayı çarpmamız gerekir. 💡
İfadenin sadeleşmiş ve paydası rasyonel hale getirilmiş hali \( 2\sqrt{7} + 2 \) dir. ✅
- Paydadaki ifade \( \sqrt{7} - 1 \) olduğundan, bunun eşleniği \( \sqrt{7} + 1 \) dir.
- İfadeyi eşlenikle çarpalım:
- \( \frac{12}{\sqrt{7} - 1} \times \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} \)
- Payları çarpalım: \( 12(\sqrt{7} + 1) = 12\sqrt{7} + 12 \)
- Paydaları çarpalım. Burada \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanabiliriz:
- \( (\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1) = (\sqrt{7})^2 - (1)^2 = 7 - 1 = 6 \)
- Şimdi yeni ifadeyi yazalım:
- \( \frac{12\sqrt{7} + 12}{6} \)
- Paydaki her terimi paydadaki 6 ile sadeleştirelim:
- \( \frac{12\sqrt{7}}{6} + \frac{12}{6} = 2\sqrt{7} + 2 \)
İfadenin sadeleşmiş ve paydası rasyonel hale getirilmiş hali \( 2\sqrt{7} + 2 \) dir. ✅
Örnek 7:
Aşağıdaki rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{x+3}{x^2 - 4x - 12} \]
\[ f(x) = \frac{x+3}{x^2 - 4x - 12} \]
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydanın sıfır olmadığı tüm gerçek sayılar kümesidir. Çünkü payda sıfır olursa ifade tanımsız olur. 📌
Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 6\} \) veya \( x \neq -2 \) ve \( x \neq 6 \) olan tüm gerçek sayılardır. ✅
- Fonksiyonun paydası \( x^2 - 4x - 12 \) dir.
- Bu ifadeyi sıfıra eşitleyen \( x \) değerlerini bulmalıyız:
- \( x^2 - 4x - 12 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim. Çarpımları -12, toplamları -4 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -6 ve 2'dir.
- \( (x - 6)(x + 2) = 0 \)
- Buradan \( x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \) veya \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) bulunur.
- Yani \( x = 6 \) ve \( x = -2 \) değerleri paydaları sıfır yapar ve fonksiyonu tanımsız kılar.
- Bu durumda, tanım kümesi tüm gerçek sayılardan bu iki değeri çıkarmamızla oluşur.
Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 6\} \) veya \( x \neq -2 \) ve \( x \neq 6 \) olan tüm gerçek sayılardır. ✅
Örnek 8:
Bir markette satılan elmaların kilogram fiyatı \( \frac{2x+10}{x+5} \) TL olarak belirlenmiştir. Bu markette \( (x+3) \) kilogram elma alan bir müşterinin ödeyeceği toplam tutarı \( x \) cinsinden bulunuz. (Elmaların fiyatı ve alınan miktar için \( x > 0 \) olduğunu varsayın.)
Çözüm:
Bu problemde, kilogram fiyatı ve alınan miktar verilmiş bir ürün için toplam tutarı bulmamız isteniyor. Toplam tutar, kilogram fiyatı ile alınan miktarın çarpımıdır. 💡
Müşterinin ödeyeceği toplam tutar \( (2x+6) \) TL'dir. ✅
- Kilogram fiyatı: \( \frac{2x+10}{x+5} \) TL
- Alınan miktar: \( (x+3) \) kg
- Ödenecek toplam tutar: \( \left( \frac{2x+10}{x+5} \right) \times (x+3) \)
- Öncelikle kilogram fiyatı ifadesini sadeleştirelim. Pay kısmındaki \( 2x+10 \) ifadesini 2 ortak çarpan parantezine alabiliriz:
- \( 2x+10 = 2(x+5) \)
- Şimdi kilogram fiyatı ifadesini tekrar yazalım:
- \( \frac{2(x+5)}{x+5} \)
- Burada \( x+5 \) ifadeleri sadeleşebilir (çünkü \( x > 0 \) olduğu için \( x+5 \neq 0 \)).
- Kilogram fiyatı sadeleşince \( 2 \) TL olur.
- Şimdi toplam tutarı hesaplayalım:
- Toplam Tutar = \( 2 \times (x+3) \)
- Toplam Tutar = \( 2x + 6 \) TL
Müşterinin ödeyeceği toplam tutar \( (2x+6) \) TL'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-karekok-rasyonel-fonksiyonlar/sorular