Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Ders Notu

Bu ders notunda, 10. sınıf matematik müfredatının önemli konularından rasyonel sayılar, kareköklü ifadeler ve rasyonel fonksiyonlar detaylı bir şekilde ele alınacaktır. Konuların temel tanımları, özellikleri ve örnek uygulamaları MEB müfredatına uygun olarak sunulmuştur.

1. Rasyonel Sayılar 🔢

Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini de kapsayan daha geniş bir sayılar kümesidir. Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız kesirli ifadeler rasyonel sayıları temsil eder.

1.1. Tanımı ve Özellikleri

Tanım: \( a \) bir tam sayı ve \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) ile gösterilir. \[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \]
Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 = \frac{5}{1} \).
İki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.

1.2. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

1.2.1. Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} \)
Örnek: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

1.2.2. Çarpma

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Örnek: \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \)

1.2.3. Bölme

Rasyonel sayılar bölünürken birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır.

Örnek: \( \frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14} \)

1.3. Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar

Bir rasyonel sayı, payı paydaya bölünerek ondalık gösterimle ifade edilebilir. Bu ondalık gösterimler ya sonlu (biten) ya da devirli (tekrarlayan) olur.

Sonlu Ondalık: Paydası 10'un kuvveti şeklinde yazılabilen kesirler. Örneğin, \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0.75 \).
Devirli Ondalık: Bölme işlemi sonucunda belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar etmesiyle oluşan ondalık sayılar. Tekrar eden kısım üzerine bir çizgi çekilerek gösterilir. Örneğin, \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \).

1.3.1. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli bir ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formül kullanılır:

\[ \frac{\text{Sayının Tamamı - Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]

Örnek: \( 0.\overline{6} = \frac{6-0}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Örnek: \( 1.\overline{23} = \frac{123-1}{99} = \frac{122}{99} \)
Örnek: \( 2.1\overline{45} = \frac{2145-21}{990} = \frac{2124}{990} = \frac{354}{165} \)

2. Kareköklü İfadeler (Köklü Sayılar) ✨

Kareköklü ifadeler, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Negatif sayıların karekökü reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.

2.1. Tanımı ve Özellikleri

Tanım: Karesi \( a \) sayısına eşit olan pozitif sayıya \( a \)'nın karekökü denir ve \( \sqrt{a} \) ile gösterilir. Burada \( a \ge 0 \) olmak zorundadır. \[ x^2 = a \implies x = \sqrt{a} \quad \text{veya} \quad x = -\sqrt{a} \] Genellikle \( \sqrt{a} \) ifadesi pozitif karekökü temsil eder.
Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Örneğin, \( 1, 4, 9, 16, 25, \ldots \)
\( \sqrt{1} = 1, \sqrt{4} = 2, \sqrt{9} = 3 \) gibi.

2.2. Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

Karekök Dışına Çıkarma: Kök içindeki bir sayının çarpanlarından tam kare olanlar kök dışına çıkarılabilir. \[ \sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0) \] Örnek: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
Karekök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için karesini alarak kök içindeki sayı ile çarparız. \[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \quad (a \ge 0) \] Örnek: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)

2.3. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem

2.3.1. Toplama ve Çıkarma

Kök içindeki sayılar ve kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler toplanabilir veya çıkarılabilir. Katsayılar toplanır/çıkarılır, köklü kısım aynen yazılır.

Örnek: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Örnek: \( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
Not: Kök içleri aynı değilse, toplama veya çıkarma yapılamaz. Örneğin, \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) bu haliyle kalır. Ancak kök dışına çıkararak eşitlenebiliyorsa işlem yapılabilir: \( \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

2.3.2. Çarpma

Kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler çarpılırken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.

Örnek: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
Örnek: \( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = (2 \cdot 4)\sqrt{3 \cdot 5} = 8\sqrt{15} \)

2.3.3. Bölme

Kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler bölünürken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında bölünür.

Örnek: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
Örnek: \( \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2} \sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2} \)

2.4. Paydayı Rasyonel Yapma

Paydasında kareköklü ifade bulunan kesirlerde, paydayı kökten kurtararak rasyonel sayı haline getirme işlemidir.

Durum 1: Payda \( \sqrt{a} \) ise, kesri \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \) ile çarparız. \[ \frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a} \] Örnek: \( \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
Durum 2: Payda \( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \) veya \( a \pm \sqrt{b} \) ise, paydanın eşleniği ile çarparız.
- \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) nin eşleniği \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) dir.
- \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) nin eşleniği \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) dir.
Bu işlemde \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) özdeşliğinden faydalanılır.
Örnek: \( \frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)

2.5. Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi 🌱

Rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) ve irrasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q}' \)) birleştiğinde gerçek (reel) sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) oluşur.

İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan, yani \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri devirli olmayan sonsuz ondalık sayılardır.
- Örnek: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e, \ldots \)
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümeleri ayrık kümelerdir, yani ortak elemanları yoktur.
Gerçek sayılar sayı doğrusunu tamamen doldurur.

3. Rasyonel Fonksiyonlar 📈

Fonksiyonlar konusunda öğrenilen temel bilgilerin üzerine inşa edilen rasyonel fonksiyonlar, polinom fonksiyonların bir oranı şeklinde tanımlanır.

3.1. Tanımı

Bir \( f \) fonksiyonu, \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom fonksiyon olmak üzere, \( Q(x) \neq 0 \) koşuluyla, \[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \] şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu fonksiyona rasyonel fonksiyon denir.

Örnek: \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) bir rasyonel fonksiyondur. Burada \( P(x) = x+1 \) ve \( Q(x) = x-2 \) dir.
Örnek: \( g(x) = \frac{x^2+3x-5}{x^3+1} \) de bir rasyonel fonksiyondur.
Her polinom fonksiyon aynı zamanda bir rasyonel fonksiyondur. Örneğin, \( P(x) = x^2+3 \) ifadesi \( P(x) = \frac{x^2+3}{1} \) şeklinde yazılabileceğinden rasyonel fonksiyondur.

3.2. Tanım Kümesi

Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulurken en önemli kural, paydanın sıfır olmaması gerektiğidir. Çünkü paydanın sıfır olması ifadeyi tanımsız yapar.

Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesi, paydadaki polinomu sıfır yapan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılardır.

Yani, \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\} \) olarak ifade edilir.

Örnek: \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydayı sıfır yapan değeri buluruz:
\[ x-2 = 0 \implies x = 2 \]
Bu durumda, fonksiyon \( x=2 \) için tanımsızdır. O halde tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) dir.
Örnek: \( g(x) = \frac{x^2-4}{x^2-x-6} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydayı sıfır yapan değerleri buluruz:
\[ x^2-x-6 = 0 \]
Çarpanlarına ayırırsak:
\[ (x-3)(x+2) = 0 \]
Buradan \( x=3 \) veya \( x=-2 \) bulunur. Bu değerler fonksiyonu tanımsız yapar.

O halde tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} \) dir.

1. Rasyonel Sayılar 🔢

Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini de kapsayan daha geniş bir sayılar kümesidir. Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız kesirli ifadeler rasyonel sayıları temsil eder.

1.1. Tanımı ve Özellikleri

Tanım: \( a \) bir tam sayı ve \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) ile gösterilir. \[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \]
Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 = \frac{5}{1} \).
İki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.

1.2. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

1.2.1. Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} \)
Örnek: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

1.2.2. Çarpma

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Örnek: \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \)

1.2.3. Bölme

Rasyonel sayılar bölünürken birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır.

Örnek: \( \frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14} \)

1.3. Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar

Bir rasyonel sayı, payı paydaya bölünerek ondalık gösterimle ifade edilebilir. Bu ondalık gösterimler ya sonlu (biten) ya da devirli (tekrarlayan) olur.

Sonlu Ondalık: Paydası 10'un kuvveti şeklinde yazılabilen kesirler. Örneğin, \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0.75 \).
Devirli Ondalık: Bölme işlemi sonucunda belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar etmesiyle oluşan ondalık sayılar. Tekrar eden kısım üzerine bir çizgi çekilerek gösterilir. Örneğin, \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \).

1.3.1. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli bir ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formül kullanılır:

\[ \frac{\text{Sayının Tamamı - Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]

Örnek: \( 0.\overline{6} = \frac{6-0}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Örnek: \( 1.\overline{23} = \frac{123-1}{99} = \frac{122}{99} \)
Örnek: \( 2.1\overline{45} = \frac{2145-21}{990} = \frac{2124}{990} = \frac{354}{165} \)

2. Kareköklü İfadeler (Köklü Sayılar) ✨

Kareköklü ifadeler, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Negatif sayıların karekökü reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.

2.1. Tanımı ve Özellikleri

Tanım: Karesi \( a \) sayısına eşit olan pozitif sayıya \( a \)'nın karekökü denir ve \( \sqrt{a} \) ile gösterilir. Burada \( a \ge 0 \) olmak zorundadır. \[ x^2 = a \implies x = \sqrt{a} \quad \text{veya} \quad x = -\sqrt{a} \] Genellikle \( \sqrt{a} \) ifadesi pozitif karekökü temsil eder.
Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Örneğin, \( 1, 4, 9, 16, 25, \ldots \)
\( \sqrt{1} = 1, \sqrt{4} = 2, \sqrt{9} = 3 \) gibi.

2.2. Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

Karekök Dışına Çıkarma: Kök içindeki bir sayının çarpanlarından tam kare olanlar kök dışına çıkarılabilir. \[ \sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0) \] Örnek: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
Karekök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için karesini alarak kök içindeki sayı ile çarparız. \[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \quad (a \ge 0) \] Örnek: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)

2.3. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem

2.3.1. Toplama ve Çıkarma

Kök içindeki sayılar ve kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler toplanabilir veya çıkarılabilir. Katsayılar toplanır/çıkarılır, köklü kısım aynen yazılır.

Örnek: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Örnek: \( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
Not: Kök içleri aynı değilse, toplama veya çıkarma yapılamaz. Örneğin, \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) bu haliyle kalır. Ancak kök dışına çıkararak eşitlenebiliyorsa işlem yapılabilir: \( \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

2.3.2. Çarpma

Kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler çarpılırken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.

Örnek: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
Örnek: \( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = (2 \cdot 4)\sqrt{3 \cdot 5} = 8\sqrt{15} \)

2.3.3. Bölme

Kök dereceleri aynı olan kareköklü ifadeler bölünürken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında bölünür.

Örnek: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
Örnek: \( \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2} \sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2} \)

2.4. Paydayı Rasyonel Yapma

Paydasında kareköklü ifade bulunan kesirlerde, paydayı kökten kurtararak rasyonel sayı haline getirme işlemidir.

Durum 1: Payda \( \sqrt{a} \) ise, kesri \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \) ile çarparız. \[ \frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a} \] Örnek: \( \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
Durum 2: Payda \( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \) veya \( a \pm \sqrt{b} \) ise, paydanın eşleniği ile çarparız.
- \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) nin eşleniği \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) dir.
- \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) nin eşleniği \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) dir.
Bu işlemde \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) özdeşliğinden faydalanılır.
Örnek: \( \frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)

2.5. Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi 🌱

Rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) ve irrasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q}' \)) birleştiğinde gerçek (reel) sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) oluşur.

İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan, yani \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri devirli olmayan sonsuz ondalık sayılardır.
- Örnek: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e, \ldots \)
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümeleri ayrık kümelerdir, yani ortak elemanları yoktur.
Gerçek sayılar sayı doğrusunu tamamen doldurur.

3. Rasyonel Fonksiyonlar 📈

Fonksiyonlar konusunda öğrenilen temel bilgilerin üzerine inşa edilen rasyonel fonksiyonlar, polinom fonksiyonların bir oranı şeklinde tanımlanır.

3.1. Tanımı

Örnek: \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) bir rasyonel fonksiyondur. Burada \( P(x) = x+1 \) ve \( Q(x) = x-2 \) dir.
Örnek: \( g(x) = \frac{x^2+3x-5}{x^3+1} \) de bir rasyonel fonksiyondur.
Her polinom fonksiyon aynı zamanda bir rasyonel fonksiyondur. Örneğin, \( P(x) = x^2+3 \) ifadesi \( P(x) = \frac{x^2+3}{1} \) şeklinde yazılabileceğinden rasyonel fonksiyondur.

3.2. Tanım Kümesi

Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulurken en önemli kural, paydanın sıfır olmaması gerektiğidir. Çünkü paydanın sıfır olması ifadeyi tanımsız yapar.

Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesi, paydadaki polinomu sıfır yapan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılardır.

Yani, \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\} \) olarak ifade edilir.

Örnek: \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydayı sıfır yapan değeri buluruz:
\[ x-2 = 0 \implies x = 2 \]
Bu durumda, fonksiyon \( x=2 \) için tanımsızdır. O halde tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) dir.
Örnek: \( g(x) = \frac{x^2-4}{x^2-x-6} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydayı sıfır yapan değerleri buluruz:
\[ x^2-x-6 = 0 \]
Çarpanlarına ayırırsak:
\[ (x-3)(x+2) = 0 \]
Buradan \( x=3 \) veya \( x=-2 \) bulunur. Bu değerler fonksiyonu tanımsız yapar.

O halde tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} \) dir.

📝 10. Sınıf Matematik: Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Ders Notu

Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Ders Notu

1. Rasyonel Sayılar 🔢

1.1. Tanımı ve Özellikleri

1.2. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

1.2.1. Toplama ve Çıkarma

1.2.2. Çarpma

1.2.3. Bölme

1.3. Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar

1.3.1. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

2. Kareköklü İfadeler (Köklü Sayılar) ✨

2.1. Tanımı ve Özellikleri

2.2. Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

2.3. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem

2.3.1. Toplama ve Çıkarma

2.3.2. Çarpma

2.3.3. Bölme

2.4. Paydayı Rasyonel Yapma

2.5. Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi 🌱

3. Rasyonel Fonksiyonlar 📈

3.1. Tanımı

3.2. Tanım Kümesi

1. Rasyonel Sayılar 🔢

1.1. Tanımı ve Özellikleri

1.2. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

1.2.1. Toplama ve Çıkarma

1.2.2. Çarpma

1.2.3. Bölme

1.3. Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar

1.3.1. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

2. Kareköklü İfadeler (Köklü Sayılar) ✨

2.1. Tanımı ve Özellikleri

2.2. Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

2.3. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem

2.3.1. Toplama ve Çıkarma

2.3.2. Çarpma

2.3.3. Bölme

2.4. Paydayı Rasyonel Yapma

2.5. Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi 🌱

3. Rasyonel Fonksiyonlar 📈

3.1. Tanımı

3.2. Tanım Kümesi

İçerik Hazırlanıyor...