📄 10. Sınıf Matematik: Rasyonel, Karekök, Rasyonel Fonksiyonlar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle paydayı çarpanlarına ayıralım: \(x^2-x-2 = (x-2)(x+1)\).
Denklemi \(\frac{3}{x-2} + \frac{4}{x+1} = \frac{x+11}{(x-2)(x+1)}\) şeklinde yazabiliriz.
Paydaları eşitlemek için sol taraftaki terimleri genişletelim:
\(\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)} + \frac{4(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+11}{(x-2)(x+1)}\)
\(\frac{3x+3+4x-8}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+11}{(x-2)(x+1)}\)
\(\frac{7x-5}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+11}{(x-2)(x+1)}\)
Paydalar eşit olduğundan payları eşitleyebiliriz (ancak \(x
e 2\) ve \(x
e -1\) olmalıdır):
\(7x-5 = x+11\)
\(6x = 16\)
\(x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\)
Bulduğumuz \(x=\frac{8}{3}\) değeri paydaları sıfır yapmadığı için çözüm kümesine dahildir.
Çözüm Kümesi: \(\left\{\frac{8}{3}\right\}\)

💡 Çözüm Adımları:

Her bir kareköklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazarak sadeleştirelim:
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri ana işlemde yerine koyalım:
\(3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3}\)
Benzer terimleri toplayıp çıkaralım:
\((3+4-5)\sqrt{3} = (7-5)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
Sonuç: \(2\sqrt{3}\)

💡 Çözüm Adımları:

Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler reel sayılar kümesinden çıkarılarak bulunur.
Payda: \(x^2-9\)
Paydayı sıfır yapan değerler: \(x^2-9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) veya \(x = -3\).
Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi \(R \setminus \{-3, 3\}\) olarak bulunur. Yani \(x\) yerine \(-3\) ve \(3\) dışındaki tüm reel sayılar yazılabilir.
Şimdi \(f(4)\) değerini hesaplayalım:
\(f(4) = \frac{3(4)-1}{4^2-9}\)
\(f(4) = \frac{12-1}{16-9}\)
\(f(4) = \frac{11}{7}\)
Sonuç: Tanım Kümesi \(R \setminus \{-3, 3\}\) ve \(f(4) = \frac{11}{7}\)