🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Polinomlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Polinomlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer polinom belirtir? İşaretleyelim. 🤔
- \( P(x) = 3x^2 - 5x + 1 \)
- \( Q(x) = \sqrt{x} + 4x - 2 \)
- \( R(x) = \frac{1}{x} + 7 \)
- \( S(x) = x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 5 \)
- \( T(x) = 6 \)
Çözüm:
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (burada \(x\)) kuvvetlerinin doğal sayı olması ve katsayılarının gerçek sayı olması gerekir. 👉 İnceleyelim:
- \( P(x) = 3x^2 - 5x + 1 \)
Burada \(x\)'in kuvvetleri 2, 1 ve 0'dır (sabit terim \(1x^0\)). Hepsi doğal sayıdır. ✅ Bu bir polinomdur. - \( Q(x) = \sqrt{x} + 4x - 2 \)
\( \sqrt{x} \) ifadesi \( x^{1/2} \) demektir. \( 1/2 \) doğal sayı değildir. ❌ Bu bir polinom değildir. - \( R(x) = \frac{1}{x} + 7 \)
\( \frac{1}{x} \) ifadesi \( x^{-1} \) demektir. \( -1 \) doğal sayı değildir. ❌ Bu bir polinom değildir. - \( S(x) = x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 5 \)
Burada \(x\)'in kuvvetleri 3, 2 ve 0'dır. Hepsi doğal sayıdır. Katsayılar ( \(1, -\frac{2}{3}, 5\) ) gerçek sayılardır. ✅ Bu bir polinomdur. - \( T(x) = 6 \)
Bu ifade \( 6x^0 \) olarak düşünülebilir. \( 0 \) doğal sayıdır. ✅ Bu bir polinomdur (sabit polinom).
Örnek 2:
\( P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 7 \) ve \( Q(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 5 \) polinomları veriliyor.
Buna göre, \( P(x) + Q(x) \) ve \( P(x) - Q(x) \) polinomlarını bulunuz. ➕➖
Buna göre, \( P(x) + Q(x) \) ve \( P(x) - Q(x) \) polinomlarını bulunuz. ➕➖
Çözüm:
Polinomlarda toplama ve çıkarma yaparken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. 💡
- \( P(x) + Q(x) \) işlemi:
Terimleri alt alta yazıp benzer terimlerin katsayılarını toplayalım: \[ P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 7 \] \[ Q(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 5 \] \[ P(x) + Q(x) = (2+1)x^3 + (-4+2)x^2 + (1-3)x + (-7+5) \] \[ P(x) + Q(x) = 3x^3 - 2x^2 - 2x - 2 \] - \( P(x) - Q(x) \) işlemi:
\( Q(x) \) polinomunun her teriminin işaretini değiştirip \( P(x) \) ile toplayabiliriz: \[ P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 7 \] \[ -Q(x) = -x^3 - 2x^2 + 3x - 5 \] \[ P(x) - Q(x) = (2-1)x^3 + (-4-2)x^2 + (1+3)x + (-7-5) \] \[ P(x) - Q(x) = x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \]
Örnek 3:
\( P(x) = 3x - 2 \) ve \( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \) polinomları veriliyor.
Buna göre, \( P(x) \cdot Q(x) \) polinomunu bulunuz. ✖️
Buna göre, \( P(x) \cdot Q(x) \) polinomunu bulunuz. ✖️
Çözüm:
Polinomlarda çarpma işlemi yaparken, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarparız ve sonra benzer terimleri toplarız. Dağılma özelliğini kullanırız. 📌
- \( P(x) \cdot Q(x) = (3x - 2) \cdot (x^2 - 4x + 1) \)
- Önce \( 3x \) ile \( Q(x) \)'in her terimini çarpalım:
\( 3x \cdot x^2 = 3x^3 \)
\( 3x \cdot (-4x) = -12x^2 \)
\( 3x \cdot 1 = 3x \) - Sonra \( -2 \) ile \( Q(x) \)'in her terimini çarpalım:
\( -2 \cdot x^2 = -2x^2 \)
\( -2 \cdot (-4x) = 8x \)
\( -2 \cdot 1 = -2 \) - Şimdi tüm bu terimleri toplayalım ve benzer terimleri birleştirelim:
\( P(x) \cdot Q(x) = 3x^3 - 12x^2 + 3x - 2x^2 + 8x - 2 \) - Benzer terimleri düzenleyelim:
\( P(x) \cdot Q(x) = 3x^3 + (-12-2)x^2 + (3+8)x - 2 \) - Sonuç olarak:
\[ P(x) \cdot Q(x) = 3x^3 - 14x^2 + 11x - 2 \]
Örnek 4:
\( P(x) = (a-1)x^3 + (b+2)x^2 + cx + d \) ve \( Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 1 \) polinomları veriliyor.
Eğer \( P(x) = Q(x) \) ise, \( a+b+c+d \) toplamı kaçtır? 🤔
Eğer \( P(x) = Q(x) \) ise, \( a+b+c+d \) toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
İki polinomun eşit olması için, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır. 💡
- \( x^3 \) terimlerinin katsayılarını eşitleyelim:
\( a-1 = 2 \implies a = 2+1 \implies a = 3 \) - \( x^2 \) terimlerinin katsayılarını eşitleyelim:
\( b+2 = -3 \implies b = -3-2 \implies b = -5 \) - \( x \) terimlerinin katsayılarını eşitleyelim:
\( c = 5 \) - Sabit terimleri eşitleyelim:
\( d = 1 \) - Şimdi \( a+b+c+d \) toplamını bulalım:
\( a+b+c+d = 3 + (-5) + 5 + 1 \)
\( a+b+c+d = 3 - 5 + 5 + 1 \)
\( a+b+c+d = 4 \) ✅
Örnek 5:
\( P(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 4 \) polinomunun;
- Derecesi kaçtır?
- Baş katsayısı kaçtır?
- Sabit terimi kaçtır?
- Katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm:
Polinomların temel özelliklerini hatırlayalım: 📌
- Derece: Bir polinomda değişkenin ( \(x\) ) en büyük kuvvetidir.
\( P(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 4 \) polinomunda \(x\)'in en büyük kuvveti 3'tür.
👉 Derecesi \( \text{der}(P(x)) = 3 \) 'tür. - Baş Katsayı: Polinomun derecesini belirleyen terimin katsayısıdır.
Derecesi 3 olan terim \( 2x^3 \) 'tür. Bu terimin katsayısı 2'dir.
👉 Baş katsayısı \( 2 \) 'dir. - Sabit Terim: Değişken içermeyen terimdir (yani \(x^0\)'ın katsayısıdır). Bunu bulmak için polinomda \(x\) yerine \(0\) yazılır.
\( P(0) = 2(0)^3 - (0)^2 + 3(0) - 4 = -4 \)
👉 Sabit terimi \( -4 \) 'tür. - Katsayılar Toplamı: Polinomdaki tüm terimlerin katsayılarının toplamıdır. Bunu bulmak için polinomda \(x\) yerine \(1\) yazılır.
\( P(1) = 2(1)^3 - (1)^2 + 3(1) - 4 \)
\( P(1) = 2 - 1 + 3 - 4 \)
\( P(1) = 1 + 3 - 4 \)
\( P(1) = 4 - 4 = 0 \)
👉 Katsayılar toplamı \( 0 \) 'dır. ✅
Örnek 6:
\( P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5 \) polinomunun \( x-1 \) ile bölümünden kalan \( 7 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır? 🤔
Çözüm:
Kalan Teoremi'ne göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x-k \) ile bölümünden kalan \( P(k) \) 'dır. 💡
- Bize \( P(x) \)'in \( x-1 \) ile bölümünden kalanın \( 7 \) olduğu verilmiş.
Bu durumda \( k=1 \) 'dir. Yani \( P(1) = 7 \) olmalıdır. - \( P(x) \) polinomunda \( x \) yerine \( 1 \) yazalım ve sonucu \( 7 \) 'ye eşitleyelim:
\( P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + 5 = 7 \) - İşlemleri yapalım:
\( 1 - 2(1) + a + 5 = 7 \)
\( 1 - 2 + a + 5 = 7 \)
\( -1 + a + 5 = 7 \)
\( a + 4 = 7 \) - \( a \) değerini bulmak için \( 4 \) 'ü karşıya atalım:
\( a = 7 - 4 \)
\( a = 3 \) ✅
Örnek 7:
Bir inşaat firması, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir su deposu inşa edecektir. Deponun hacmini veren polinom \( H(x) = x^3 - 5x^2 + mx - 6 \) olarak modellenmiştir.
Mühendisler, deponun bir kenar uzunluğunun \( x-2 \) birim olabileceğini belirtiyor. Buna göre, \( m \) değeri kaçtır ve deponun diğer kenarları \( x \) cinsinden nasıl ifade edilebilir? 📐💧
Mühendisler, deponun bir kenar uzunluğunun \( x-2 \) birim olabileceğini belirtiyor. Buna göre, \( m \) değeri kaçtır ve deponun diğer kenarları \( x \) cinsinden nasıl ifade edilebilir? 📐💧
Çözüm:
Bu problemde, deponun bir kenar uzunluğunun \( x-2 \) birim olması, \( x-2 \) ifadesinin hacim polinomunun bir çarpanı olduğu anlamına gelir.
Eğer \( x-2 \) bir çarpan ise, Kalan Teoremi'ne göre \( H(x) \)'in \( x-2 \) ile bölümünden kalan \( 0 \) olmalıdır. Yani \( H(2) = 0 \) 'dır. 💡
Eğer \( x-2 \) bir çarpan ise, Kalan Teoremi'ne göre \( H(x) \)'in \( x-2 \) ile bölümünden kalan \( 0 \) olmalıdır. Yani \( H(2) = 0 \) 'dır. 💡
- \( H(x) \) polinomunda \( x \) yerine \( 2 \) yazalım ve sonucu \( 0 \) 'a eşitleyelim:
\( H(2) = (2)^3 - 5(2)^2 + m(2) - 6 = 0 \) - İşlemleri yapalım:
\( 8 - 5(4) + 2m - 6 = 0 \)
\( 8 - 20 + 2m - 6 = 0 \)
\( -12 + 2m - 6 = 0 \)
\( 2m - 18 = 0 \) - \( 2m = 18 \)
\( m = 9 \) ✅
Yani \( H(x) = x^3 - 5x^2 + 9x - 6 \) 'dır. - Şimdi deponun diğer kenarlarını bulmak için \( H(x) \) polinomunu \( x-2 \) 'ye bölmemiz gerekir. Polinom bölmesi yapalım:
(Bu adımda uzun bölme veya Horner metodu kullanılabilir. 10. sınıf müfredatında polinom bölmesi de yer alır.)\( (x^3 - 5x^2 + 9x - 6) \div (x-2) \)
Önce \( x^3 \) elde etmek için \( x^2 \) ile çarparız:
\( x^2(x-2) = x^3 - 2x^2 \)
Çıkarınca: \( (x^3 - 5x^2) - (x^3 - 2x^2) = -3x^2 \) kalır. \( 9x \) 'i aşağı indiririz.Şimdi \( -3x^2 \) elde etmek için \( -3x \) ile çarparız:
\( -3x(x-2) = -3x^2 + 6x \)
Çıkarınca: \( (-3x^2 + 9x) - (-3x^2 + 6x) = 3x \) kalır. \( -6 \) 'yı aşağı indiririz.Şimdi \( 3x \) elde etmek için \( +3 \) ile çarparız:
\( 3(x-2) = 3x - 6 \)
Çıkarınca: \( (3x - 6) - (3x - 6) = 0 \) kalır.Bölme sonucu \( x^2 - 3x + 3 \) 'tür.
- Dolayısıyla, deponun hacmi \( H(x) = (x-2)(x^2 - 3x + 3) \) olarak çarpanlara ayrılabilir.
👉 Deponun bir kenarı \( x-2 \) ise, diğer iki kenarının uzunlukları \( x^2 - 3x + 3 \) polinomunun çarpanları olabilir. Ancak, bu ikinci dereceden ifadeyi 10. sınıf seviyesinde daha fazla çarpanlarına ayırmak her zaman mümkün veya gerekli olmayabilir (reel kökleri olmayabilir). Bu ifadeyi "diğer iki kenarın çarpımı" olarak düşünebiliriz. Eğer ayrı ayrı kenarlar sorulsaydı, \( x^2 - 3x + 3 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılması gerekirdi. Bu durumda, deponun diğer kenarları \( x^2 - 3x + 3 \) ifadesini oluşturan iki sayının çarpımı şeklinde ifade edilir. Bu seviyede genellikle \( x^2 - 3x + 3 \) ifadesi bir kenarın alanı olarak kabul edilir ve kenarlar bu ifadenin çarpanları olarak düşünülür.
Örnek 8:
Bir fırıncı, ürettiği ekmek sayısına ( \(x\) ) bağlı olarak günlük üretim maliyetini \( M(x) \) TL olarak hesaplamaktadır. Maliyet fonksiyonu \( M(x) = 0.01x^2 + 2x + 500 \) polinomu ile veriliyor.
Bu fırıncının;
Bu fırıncının;
- Günde hiç ekmek üretmediğinde sabit maliyeti kaç TL'dir?
- Günde 100 ekmek ürettiğinde toplam maliyeti kaç TL olur?
- 100 ekmek üretmek yerine, 101 ekmek ürettiğinde ek maliyet (101. ekmeğin maliyeti) yaklaşık olarak kaç TL olur?
Çözüm:
Bu problemde, üretim maliyetini bir polinom fonksiyonu olarak modelledik. Şimdi soruları adım adım çözelim. 🍞
- 1. Günde hiç ekmek üretmediğinde sabit maliyeti:
Hiç ekmek üretmemek demek \( x=0 \) demektir. Yani \( M(x) \) polinomunun sabit terimini bulmamız gerekiyor.
\( M(0) = 0.01(0)^2 + 2(0) + 500 \)
\( M(0) = 0 + 0 + 500 \)
\( M(0) = 500 \) TL.
👉 Fırıncının sabit maliyeti \( 500 \) TL'dir. Bu, fırın çalışmasa bile oluşan kira, bakım gibi giderlerdir. - 2. Günde 100 ekmek ürettiğinde toplam maliyeti:
Bunun için \( M(x) \) polinomunda \( x \) yerine \( 100 \) yazmalıyız.
\( M(100) = 0.01(100)^2 + 2(100) + 500 \)
\( M(100) = 0.01(10000) + 200 + 500 \)
\( M(100) = 100 + 200 + 500 \)
\( M(100) = 800 \) TL.
👉 Günde 100 ekmek ürettiğinde toplam maliyeti \( 800 \) TL olur. - 3. 101. ekmeğin ek maliyeti:
101. ekmeğin ek maliyeti, 101 ekmek üretmenin toplam maliyeti ile 100 ekmek üretmenin toplam maliyeti arasındaki farktır. Yani \( M(101) - M(100) \) 'ü bulmalıyız.
Önce \( M(101) \) 'i hesaplayalım:
\( M(101) = 0.01(101)^2 + 2(101) + 500 \)
\( M(101) = 0.01(10201) + 202 + 500 \)
\( M(101) = 102.01 + 202 + 500 \)
\( M(101) = 804.01 \) TL.
Şimdi farkı bulalım:
Ek maliyet \( = M(101) - M(100) = 804.01 - 800 = 4.01 \) TL.
👉 101. ekmeğin ek maliyeti yaklaşık \( 4.01 \) TL olur. Bu tür "marjinal maliyet" hesaplamaları ekonomide polinomlar kullanılarak sıkça yapılır! 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-polinomlar/sorular