Polinomlar Ders Notu

Polinomlar, matematikte önemli bir yer tutan, değişkenlerin sadece doğal sayı kuvvetlerini içeren cebirsel ifadelerdir. Bu konuda, polinomların tanımını, özelliklerini ve temel işlemlerini ayrıntılı bir şekilde inceleyeceğiz.

Polinom Nedir? 🤔

n bir doğal sayı ve \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\) birer gerçek sayı olmak üzere, \(x\) değişkenine bağlı bir polinom;

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \]

şeklinde yazılabilen ifadelere denir. Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır:

• Değişkenin (genellikle \(x\)) kuvvetleri doğal sayı olmalıdır (\(0, 1, 2, 3, ...\)).
• Katsayılar gerçek sayı olmalıdır.

Polinom Terimleri ve Özellikleri ✨

Yukarıdaki \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\) polinomu için:

• Terimler: \(a_n x^n, a_{n-1} x^{n-1}, ..., a_1 x, a_0\) ifadelerinin her biri polinomun bir terimidir.
• Katsayılar: \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\) sayılarına polinomun katsayıları denir.
• Derece: Polinomdaki en büyük üsse polinomun derecesi denir ve \(der[P(x)]\) ile gösterilir. Örneğin, \(P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7\) polinomunun derecesi \(3\)tür.
• Başkatsayı: Derecesi en büyük olan terimin katsayısına başkatsayı denir. Yukarıdaki örnekte başkatsayı \(5\)tir.
• Sabit Terim: Değişken içermeyen terime sabit terim denir. Bu terim, \(x^0\) teriminin katsayısıdır. Yukarıdaki örnekte sabit terim \(7\)dir. Sabit terimi bulmak için \(x = 0\) yazılır: \(P(0)\).

Örnek: \(P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 8\) polinomunu inceleyelim.

• Derece: \(der[P(x)] = 4\)
• Başkatsayı: \(3\)
• Sabit Terim: \(-8\)
• Katsayılar: \(3, -2, 0, 5, -8\) (Dikkat: \(x^2\) terimi olmadığı için katsayısı \(0\)dır.)

Özel Polinomlar

• Sabit Polinom: Derecesi \(0\) olan polinomlardır. Yani sadece bir sabit sayıdan oluşur. Örn: \(P(x) = 7\). Burada \(der[P(x)] = 0\).
• Sıfır Polinomu: Tüm katsayıları \(0\) olan polinomdur. Örn: \(P(x) = 0\). Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Polinomlarda İşlemler ➕➖✖️

1. Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

İki polinom toplanırken veya çıkarılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Değişken ve üssü değişmez.

Örnek: \(P(x) = 3x^2 + 2x - 1\) ve \(Q(x) = x^2 - 4x + 5\) polinomları için:

• Toplam: \[ P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 4x + 5) \] \[ P(x) + Q(x) = (3+1)x^2 + (2-4)x + (-1+5) \] \[ P(x) + Q(x) = 4x^2 - 2x + 4 \]
• Fark: \[ P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 4x + 5) \] \[ P(x) - Q(x) = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 4x - 5 \] \[ P(x) - Q(x) = (3-1)x^2 + (2+4)x + (-1-5) \] \[ P(x) - Q(x) = 2x^2 + 6x - 6 \]

2. Polinomlarda Çarpma

İki polinom çarpılırken, bir polinomun her terimi diğer polinomun her terimiyle ayrı ayrı çarpılır ve aynı dereceli terimler toplanır.

Örnek: \(P(x) = x+2\) ve \(Q(x) = x-3\) polinomları için: \[ P(x) \cdot Q(x) = (x+2)(x-3) \] \[ P(x) \cdot Q(x) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) \] \[ P(x) \cdot Q(x) = x^2 - 3x + 2x - 6 \] \[ P(x) \cdot Q(x) = x^2 - x - 6 \]

Polinomların çarpımının derecesi, polinomların derecelerinin toplamına eşittir:

\[ der[P(x) \cdot Q(x)] = der[P(x)] + der[Q(x)] \]

İki Polinomun Eşitliği ⚖️

İki polinomun eşit olabilmesi için, aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

Örnek: \(P(x) = ax^2 + bx + c\) ve \(Q(x) = 4x^2 - 3x + 1\) olsun. Eğer \(P(x) = Q(x)\) ise:

• \(a = 4\)
• \(b = -3\)
• \(c = 1\)

olmalıdır.

Bir Polinomun Değeri 🔢

Bir \(P(x)\) polinomunun \(x = a\) için değeri, polinomda \(x\) yerine \(a\) yazılarak bulunur ve \(P(a)\) ile gösterilir.

Örnek: \(P(x) = x^2 - 3x + 5\) polinomu için \(P(2)\) değerini bulalım. \[ P(2) = (2)^2 - 3(2) + 5 \] \[ P(2) = 4 - 6 + 5 \] \[ P(2) = 3 \]

Polinomlarda Bölme ve Kalan Teoremi ➗

Polinomlarda Bölme Algoritması

\(P(x)\) bir polinom ve \(B(x)\) sıfır polinomundan farklı bir polinom olmak üzere, \(der[P(x)] \ge der[B(x)]\) ise;

\[ P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \]

eşitliğini sağlayan bir tek \(Q(x)\) (bölüm) ve \(K(x)\) (kalan) polinomları vardır. Burada kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olmak zorundadır:

\[ der[K(x)] < der[B(x)] \]

Eğer \(K(x) = 0\) ise, \(P(x)\) polinomu \(B(x)\) polinomuna tam bölünüyor denir.

Kalan Teoremi 💡

Kalan Teoremi, polinomlarda bölme işlemi yapmadan kalanı bulmamızı sağlar.

1. \(P(x)\) polinomunun \((x-a)\) ile bölümünden kalan

\(P(x)\) polinomunun \((x-a)\) ile bölümünden kalanı bulmak için bölen \((x-a)\) sıfıra eşitlenir ve bulunan \(x\) değeri \(P(x)\) polinomunda yerine yazılır. Kalan \(P(a)\) olur.

Kural: \(x-a = 0 \implies x = a \implies \text{Kalan} = P(a)\)

Örnek: \(P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1\) polinomunun \((x-2)\) ile bölümünden kalanı bulalım.

Bölen \(x-2\) olduğu için \(x-2 = 0 \implies x = 2\). Bu değeri \(P(x)\) polinomunda yerine yazalım:

\[ Kalan = P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 4(2) - 1 \] \[ P(2) = 8 - 2(4) + 8 - 1 \] \[ P(2) = 8 - 8 + 8 - 1 \] \[ P(2) = 7 \]

Yani kalan \(7\)dir.

2. \(P(x)\) polinomunun \((ax+b)\) ile bölümünden kalan

\(P(x)\) polinomunun \((ax+b)\) ile bölümünden kalanı bulmak için bölen \((ax+b)\) sıfıra eşitlenir ve bulunan \(x\) değeri \(P(x)\) polinomunda yerine yazılır. Kalan \(P(-\frac{b}{a})\) olur.

Kural: \(ax+b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a} \implies \text{Kalan} = P(-\frac{b}{a})\)

Örnek: \(P(x) = 2x^2 - 5x + 3\) polinomunun \((2x-1)\) ile bölümünden kalanı bulalım.

Bölen \(2x-1\) olduğu için \(2x-1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}\). Bu değeri \(P(x)\) polinomunda yerine yazalım:

\[ Kalan = P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{2}\right) + 3 \] \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{5}{2} + 3 \] \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + \frac{6}{2} \] \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1-5+6}{2} \] \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{2} \] \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \]

Yani kalan \(1\)dir.