💡 10. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler

Dikdörtgenin köşeleri dik açı (\(90^\circ\)) olduğu için, \(ABC\) üçgeni bir dik üçgendir.

• 1. Adım: Dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım. Teoreme göre: \[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
• 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[AC^2 = 6^2 + 8^2\] \[AC^2 = 36 + 64\] \[AC^2 = 100\]
• 3. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak köşegen uzunluğunu bulalım: \[AC = 10\] cm

💡 Pratik Yol: Bu üçgen, kenar uzunlukları \(3-4-5\) özel dik üçgeninin \(2\) katı olan \(6-8-10\) özel üçgenidir. Dolayısıyla işlem yapmadan da \(AC = 10\) cm bulabiliriz!

Dik yamuk sorularında genellikle üst köşeden tabana dikme indirilerek bir dikdörtgen ve bir dik üçgen oluşturulur.

• 1. Adım: \(C\) köşesinden \(AB\) tabanına bir \(CH\) dikmesi indirelim (\(CH \perp AB\)).
• 2. Adım: Oluşan \(AHCD\) şekli bir dikdörtgen olur. Bu durumda:
  AH = CD = \(5\) cm
  CH = AD = \(12\) cm olur.
• 3. Adım: \(HB\) uzunluğunu bulalım: \[HB = AB - AH\] \[HB = 10 - 5 = 5\] cm
• 4. Adım: Oluşan \(CHB\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: \[BC^2 = CH^2 + HB^2\] \[BC^2 = 12^2 + 5^2\] \[BC^2 = 144 + 25\] \[BC^2 = 169\] \[BC = 13\] cm

📌 Not: Bu üçgen, \(5-12-13\) özel dik üçgenidir!

Eşkenar dörtgenin en önemli özelliklerini hatırlayalım:

• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser ve ortalar.
• Köşegenlerin kesim noktasına \(E\) dersek, \(AE = EC\) ve \(BE = ED\) olur. Ayrıca \(AC \perp BD\) olduğundan \(AEB\) bir dik üçgendir.
• 1. Adım: Köşegenlerin yarı uzunluklarını bulalım: \[AE = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\] cm \[BE = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8\] cm
• 2. Adım: \(AEB\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak bir kenar uzunluğunu (\(AB\)) bulalım: \[AB^2 = AE^2 + BE^2\] \[AB^2 = 6^2 + 8^2\] \[AB^2 = 36 + 64 = 100\] \[AB = 10\] cm
• 3. Adım: Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğundan çevresini hesaplayalım:
  Çevre = \(4 \times AB\)
  Çevre = \(4 \times 10 = 40\) cm

✅ Eşkenar dörtgenin çevresi 40 cm olarak bulunur.

Deltoidin özelliklerini kullanarak soruyu adım adım çözelim:

• Deltoidde köşegenler birbirini dik keser. Bu nedenle \(AEB\) ve \(BEC\) üçgenleri birer dik üçgendir.
• Ayrıca, simetri ekseni olan köşegen (\(AC\)), diğer köşegeni (\(BD\)) iki eş parçaya böler. Dolayısıyla \(BE = ED = 4\) cm olur.
• 1. Adım: \(AEB\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak \(AB\) kenarını bulalım: \[AB^2 = AE^2 + BE^2\] \[AB^2 = 3^2 + 4^2\] \[AB^2 = 9 + 16 = 25\] \[AB = 5\] cm
  Buradan AD = AB = \(5\) cm olur.
• 2. Adım: \(BEC\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak \(BC\) kenarını bulalım: \[BC^2 = BE^2 + EC^2\] \[BC^2 = 4^2 + 12^2\] \[BC^2 = 16 + 144 = 160\] \[BC = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\] cm
  Buradan CD = BC = \(4\sqrt{10}\) cm olur.
• 3. Adım: Deltoidin çevresini hesaplayalım:
  Çevre = \(AB + AD + BC + CD\)
  Çevre = \(5 + 5 + 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10}\)
  Çevre = \(10 + 8\sqrt{10}\) cm

👉 Deltoidin çevresi \(10 + 8\sqrt{10}\) cm'dir.

Bu yeni nesil günlük hayat probleminde, dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bularak borunun toplam uzunluğuna ulaşmamız gerekir.

• 1. Adım: Bahçenin eni \(a = 8\) m ve boyu \(b = 15\) m'dir. Köşegen uzunluğuna \(x\) diyelim. Dikdörtgenin köşesi dik açı olduğundan Pisagor teoremini uygularız: \[x^2 = a^2 + b^2\] \[x^2 = 8^2 + 15^2\]
• 2. Adım: Kareleri hesaplayıp toplayalım: \[x^2 = 64 + 225\] \[x^2 = 289\] \[x = 17\] metre
• 3. Adım: Malzeme maliyetini hesaplayalım:
  Boru uzunluğu = \(17\) metre
  Metre fiyatı = \(50\) TL
  Toplam Maliyet = \(17 \times 50 = 850\) TL

💡 Pratik Bilgi: Bu soru, \(8-15-17\) özel dik üçgeni kullanılarak saniyeler içinde çözülebilirdi!

Soruyu görselleştirmek için iki adet dik üçgen kuralım. Destek direği yere diktir ve yüksekliği \(4\) metredir.

• 1. Adım: Merdiven, dik direk ve yerdeki mesafe bir dik üçgen oluşturur.
  Hipotenüs (merdiven) = \(5\) m
  Dik kenar (direk) = \(4\) m
  Bu durumda yerdeki yatay mesafe (merdiven ayağı ile direk arası) \(3-4-5\) özel üçgeninden dolayı: \[d = 3\] m olur.
• 2. Adım: Kaydırağın toplam yatay mesafesi \(7\) metre olarak verilmiştir.
  Kaydırağın kayma yüzeyinin yerdeki ucu ile direk arasındaki mesafeyi (\(y\)) bulalım: \[y = 7 - 3 = 4\] m
• 3. Adım: Şimdi kaydırağın kayma yüzeyini (\(z\)) bulmak için direk yüksekliği (\(4\) m) ve yerdeki mesafe (\(y = 4\) m) ile yeni bir dik üçgen kuralım: \[z^2 = 4^2 + 4^2\] \[z^2 = 16 + 16 = 32\] \[z = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] metre

✅ Kaydırağın kayma yüzeyinin uzunluğu \(4\sqrt{2}\) metredir.

İkizkenar yamuk sorularında üst köşelerden tabana iki adet dikme indirilerek simetrik dik üçgenler elde edilir.

• 1. Adım: \(D\) ve \(C\) köşelerinden \(AB\) tabanına sırasıyla \(DK\) ve \(CH\) dikmelerini indirelim.
• 2. Adım: Ortada oluşan \(KHCD\) bir dikdörtgendir. Dolayısıyla:
  KH = CD = \(12\) cm olur.
• 3. Adım: Yamuk ikizkenar olduğu için yanlarda kalan parçalar birbirine eşittir: \[AK = HB = \frac{AB - KH}{2}\] \[AK = HB = \frac{24 - 12}{2} = 6\] cm
• 4. Adım: Şimdi oluşan \(AKD\) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak yüksekliği (\(h\)) bulalım: \[AD^2 = AK^2 + h^2\] \[10^2 = 6^2 + h^2\] \[100 = 36 + h^2\] \[h^2 = 64\] \[h = 8\] cm

📌 Sonuç: Yamuğun yüksekliği 8 cm'dir. Bu üçgen de \(6-8-10\) özel üçgenidir!

Bu problemi çözmek için direklerin konumunu ve aralarındaki mesafeyi dik koordinat sistemine veya dik yamuk modeline benzetebiliriz.

• 1. Adım: Kısa direğin tepesinden uzun direğe doğru zemine paralel bir çizgi çizelim. Böylece bir dikdörtgen ve üst kısımda bir dik üçgen elde ederiz.
• 2. Adım: Çizdiğimiz paralel çizginin uzunluğu, iki direk arasındaki mesafeye eşit olur:
  Yatay kenar = \(12\) metre.
• 3. Adım: Dik üçgenin dikey kenarını bulalım. Bu kenar, iki direğin boy farkına eşittir:
  Dikey kenar = \(15 - 10 = 5\) metre.
• 4. Adım: Kablo, bu dik üçgenin hipotenüsü (\(k\)) olacaktır. Pisagor teoremini uygulayalım: \[k^2 = 12^2 + 5^2\] \[k^2 = 144 + 25\] \[k^2 = 169\] \[k = 13\] metre

💡 Harika! \(5-12-13\) özel dik üçgeni yardımıyla gergin kablonun uzunluğunu en az 13 metre olarak bulduk.