💡 10. Sınıf Matematik: Pisagor bağıntısı Çözümlü Örnekler

Dikdörtgenin köşe açıları \( 90^\circ \) olduğundan, ABC üçgeni bir dik üçgendir.

• 1. Adım: Dik üçgende Pisagor bağıntısını yazalım: \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \]
• 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ |AC|^2 = 8^2 + 6^2 \]
• 3. Adım: Hesaplamaları yapalım: \[ |AC|^2 = 64 + 36 \] \[ |AC|^2 = 100 \] \[ |AC| = 10 \] cm bulunur.

İkizkenar yamuk sorularında yükseklik çizerek dik üçgenler oluşturmak en temel yöntemdir.

• 1. Adım: D ve C köşelerinden [AB] tabanına dikmeler indirelim. Bu dikme ayakları sırasıyla H ve K olsun.
• 2. Adım: [HK] uzunluğu üst tabana eşit olur: \[ |HK| = |DC| = 10 \] cm.
• 3. Adım: Yamuk ikizkenar olduğu için yanlarda kalan parçalar birbirine eşittir: \[ |AH| = |KB| = \frac{22 - 10}{2} = 6 \] cm.
• 4. Adım: AHD dik üçgeninde yüksekliğe \( h \) dersek Pisagor bağıntısını uygulayalım: \[ h^2 + |AH|^2 = |AD|^2 \] \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 64 \implies h = 8 \] cm bulunur.

İki nokta arasındaki en kısa uzaklık, bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur ve Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.

• 1. Adım: Yatay eksendeki (x koordinatları) değişimi bulalım: \[ x_2 - x_1 = 8 - 2 = 6 \] birim.
• 2. Adım: Dikey eksendeki (y koordinatları) değişimi bulalım: \[ y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8 \] birim.
• 3. Adım: Bu değişimler bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur. En kısa uzaklığa \( d \) dersek Pisagor bağıntısından: \[ d^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ d^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ d = 10 \] birim bulunur.

Deltoidin en önemli özelliklerinden biri, köşegenlerinin dik kesişmesi ve simetri ekseni olan köşegenin diğer köşegeni ortalamasıdır.

• 1. Adım: [AC] köşegeni [BD] köşegenini dik keser ve iki eşit parçaya böler: \[ |BK| = |KD| = \frac{24}{2} = 12 \] cm.
• 2. Adım: ABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak \( |AK| \) uzunluğunu bulalım: \[ |AK|^2 + |BK|^2 = |AB|^2 \] \[ |AK|^2 + 12^2 = 13^2 \] \[ |AK|^2 + 144 = 169 \implies |AK|^2 = 25 \implies |AK| = 5 \] cm.
• 3. Adım: BKC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak \( |KC| \) uzunluğunu bulalım: \[ |KC|^2 + |BK|^2 = |BC|^2 \] \[ |KC|^2 + 12^2 = 20^2 \] \[ |KC|^2 + 144 = 400 \implies |KC|^2 = 256 \implies |KC| = 16 \] cm.
• 4. Adım: Toplam köşegen uzunluğunu hesaplayalım: \[ |AC| = |AK| + |KC| = 5 + 16 = 21 \] cm.

Katlama sorularında katlanan kısımların uzunluklarının korunduğunu unutmamalıyız.

• 1. Adım: C noktası A noktasına geldiği için katlama sonucunda \( |AE| = |EC| \) olur.
• 2. Adım: Aradığımız \( |AE| \) uzunluğuna \( x \) diyelim. Bu durumda: \[ |EC| = x \] olur.
• 3. Adım: Dikdörtgenin uzun kenarı \( |CD| = 16 \) cm olduğundan, geriye kalan parça: \[ |DE| = 16 - x \] olur.
• 4. Adım: ADE dik üçgeninde \( |AD| = 12 \) cm'dir. Bu üçgende Pisagor bağıntısını uygulayalım: \[ |AE|^2 = |AD|^2 + |DE|^2 \] \[ x^2 = 12^2 + (16 - x)^2 \] \[ x^2 = 144 + 256 - 32x + x^2 \]
• 5. Adım: Denklemdeki \( x^2 \) terimlerini sadeleştirip çözelim: \[ 32x = 400 \] \[ x = 12.5 \] cm bulunur.

Günlük hayattaki bu durum, yer düzlemine dik bir yükseklik ile modellenerek dik üçgene dönüştürülür.

• 1. Adım: Merdiven, yer ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende merdiven uzunluğu hipotenüstür: \[ \text{Hipotenüs} = 5 \] metre.
• 2. Adım: Yatay mesafe dik kenarlardan biridir: \[ \text{Yatay Kenar} = 3 \] metre.
• 3. Adım: Yüksekliğe \( h \) diyerek Pisagor bağıntısını uygulayalım: \[ h^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 9 = 25 \] \[ h^2 = 16 \implies h = 4 \] metre bulunur.

Kare, tüm kenarları eşit ve iç açıları \( 90^\circ \) olan özel bir dörtgendir.

• 1. Adım: Karenin köşegeni, kareyi iki eş ikizkenar dik üçgene ayırır.
• 2. Adım: Köşegen uzunluğuna \( d \) dersek, Pisagor bağıntısından: \[ d^2 = 6^2 + 6^2 \]
• 3. Adım: Kareleri alıp toplayalım: \[ d^2 = 36 + 36 = 72 \] \[ d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \] cm bulunur.

Koordinat düzlemindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafe, dik koordinat eksenleri yardımıyla oluşturulan dik üçgenin hipotenüsüdür.

• 1. Adım: Noktaların x koordinatları arasındaki farkı (yatay dik kenar) bulalım: \[ |3 - (-1)| = 4 \] birim.
• 2. Adım: Noktaların y koordinatları arasındaki farkı (dikey dik kenar) bulalım: \[ |5 - 2| = 3 \] birim.
• 3. Adım: Dik kenarları \( 3 \) ve \( 4 \) birim olan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayalım: \[ d^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ d^2 = 9 + 16 = 25 \implies d = 5 \] birim bulunur.