Pisagor bağıntısı Ders Notu

Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı kuran en temel geometrik kural Pisagor Bağıntısıdır. Bir dik üçgende, 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs, açıyı oluşturan diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.

📐 Pisagor Bağıntısı Nedir?

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Dik kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \), hipotenüs uzunluğu \( c \) olan bir ABC dik üçgeninde bağıntı şu şekildedir:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

📌 Önemli Not: Hipotenüs, her zaman dik üçgendeki en uzun kenardır ve daima \( 90^\circ \)'lik açının karşısında yer alır.

🔢 Sık Kullanılan Özel Dik Üçgenler

Soruları daha hızlı çözebilmek için kenar uzunlukları tam sayı olan özel dik üçgen kalıplarını bilmek büyük kolaylık sağlar. Bu kenar uzunluklarının katları da Pisagor bağıntısını sağlar.

Kenar Oranları	Örnek Katları (k = 2)
\( 3 - 4 - 5 \)	\( 6 - 8 - 10 \)
\( 5 - 12 - 13 \)	\( 10 - 24 - 26 \)
\( 8 - 15 - 17 \)	\( 16 - 30 - 34 \)
\( 7 - 24 - 25 \)	\( 14 - 48 - 50 \)

🌍 Günlük Yaşamdan Uygulama

Bir duvara dayalı merdivenin güvenliği hesaplanırken Pisagor bağıntısından yararlanılır. Örneğin, zeminden yüksekliği \( 4 \) metre olan bir pencereye ulaşmak için, merdivenin ayağı duvardan \( 3 \) metre uzağa yerleştirilirse, merdivenin boyunun en az \( 5 \) metre olması gerekir (\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)).

📝 Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1

Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \)'dir. Dik kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \text{ cm} \) ve \( |BC| = 12 \text{ cm} \) olduğuna göre, hipotenüs olan \( |AC| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

Pisagor formülünü uygulayalım:

\( |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \)

\( |AC|^2 = 5^2 + 12^2 \)

\( |AC|^2 = 25 + 144 \)

\( |AC|^2 = 169 \)

\( |AC| = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \)

Örnek 2

Hipotenüs uzunluğu \( 10 \text{ cm} \) ve dik kenarlarından biri \( 6 \text{ cm} \) olan bir dik üçgenin diğer dik kenar uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

Bilinmeyen dik kenara \( x \) diyelim.

\( x^2 + 6^2 = 10^2 \)

\( x^2 + 36 = 100 \)

\( x^2 = 100 - 36 \)

\( x^2 = 64 \)

\( x = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \)

Örnek 3

Dik kenar uzunlukları \( |AB| = 2 \text{ cm} \) ve \( |BC| = 4 \text{ cm} \) olan bir ABC dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu \( |AC| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

Pisagor bağıntısını yazalım:

\( |AC|^2 = 2^2 + 4^2 \)

\( |AC|^2 = 4 + 16 \)

\( |AC|^2 = 20 \)

\( |AC| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm} \)